Un polinomio es una expresión que es la suma de muchos términos. Por ejemplo:

$$ 3x^2+11x+9 $$

$$ \frac{3}{2}x-5 $$

Un polinomio real en x es cualquier expresión de la forma

$$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0 $$

donde las \(a\) son números reales y n es un entero no negativo. Las \(a\) se llaman coeficientes y se le llama grado al mayor exponente que aparece en el polinomio en un término con coeficiente distinto de cero. Ejemplos:

\( f(x)=2 \) (polinomio de grado 0 o constante).

\( f(x)=4x+1 \) (polinomio de grado 1 o lineal).

\( f(x)=5x^2-2x+2/3 \) (polinomio de grado 2 o cuadrático).

\( f(x)=x^3-2x+1 \) (polinomio de grado 3 o cúbico).

\( f(x)=-6x^4 + 12x^2-3x+13 \) (polinomio de grado 4 o cuártico).

\( f(x)=2 x^5 + 6x^4 -8x^2+x-3 \) (polinomio de grado 5 o quíntico).

Bases de factorización de polinomios

Factorizar un polinomio significa escribirlo como un producto de polinomios más simples. Factorizar un polinomio completamente es escribirlo como un producto de polinomios que ya no se pueden factorizar. Entonces, cuando se escribe

$$ x^3 - 9x = x(x^2-9) $$

se ha factorizado \(x^3 - 9x \), pero no es sino hasta que se escribe

$$ x^3 - 9x = x (x+3)(x-3) $$

cuando se ha factorizado \(x^3-9x\) por completo. Lo primero al aprender a factorizar es memorizar las fórmulas especiales para factorización. De ese modo, cuando se observen estas formas, factorizar será algo relativamente simple.

Formulas de factorización

Si se leen las siguientes fórmulas de izquierda a derecha tenemos las de factorización, pero leerlas de derecha a izquierda las convierte en las fórmulas de los productos notables.

Fórmulas de factorización (izquierda a derecha) >>>

<<< Fórmulas de productos notables (derecha a izquierda)

1. $$ax+ay+az=a(x+y+z) $$
2. $$x^2+(a+b)x +ab=(x+a)(x+b) $$
3. Cuadrados perfectos.  $$ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 $$ $$ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $$
4. Cuadrados perfectos.  $$ x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2 $$ $$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $$
5. Diferencia de cuadrados. $$ x^2-y^2 = (x+y)(x-y) $$ $$ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $$
6. $$ x^3 + 3x^2 y +3xy^2 + y^3=(x+y)^3 $$
7. $$ x^3 - 3x^2 y +3xy^2 - y^3=(x-y)^3 $$
8. Suma de cubos. $$ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) $$ $$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $$
9. Diferencia de cubos. $$ x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $$ $$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $$
    • Ejemplo: factorizar \(f(x)=x^2+10x+25=(x+5)(x+5)=(x+5)^2\). Ver caso 3. Cuadrados perfectos.
    • Ejemplo: factorizar \(f(x)=x^2-12x+36=(x-6)^2\). Ver caso 4. Cuadrados perfectos.
    • Ejemplo: factorizar \(f(x)=4x^2+12x+9=(2x+3)^2\). Ver caso 3. Cuadrados perfectos.
    • Ejemplo: factorizar \(f(x)=x^2-16=(x+4)(x-4)\). Ver caso 5. Diferencia de cuadrados.
    • Ejemplo: factorizar \(f(x)=y^2-100=(y+10)(y-10)\). Ver caso 5. Diferencia de cuadrados.
    • Ejemplo: factorizar \(f(x)=4y^2-9b^2=(2y+3b)(2y-3b)\). Ver caso 5. Diferencia de cuadrados.
    • Ejemplo: factorizar \(f(x)=8x^3+27=(2x)^3+3^3=(2x+3)[(2x)^2-(2x)(3)+3^2]=(2x+3)(4x^2-6x+9)\). Ver caso 8. Suma de cubos.
    • Ejemplo: factorizar \(f(x)=x^3 z^3-1000=(xz)^3-10^3=(xz-10)(x^2 z^2+10xz+100)\). Ver caso 9. Diferencia de cubos.

    Factorización por ensayo y error

    Para polinomios de orden 2 con el coeficiente \(a\) que acompaña a \(x^2\) igual a 1.

    • Ejemplo: factorizar

    $$ f(x)=x^2-5x-14 $$

    Buscamos una expresión de la forma

    $$ f(x)=(x+a)(x+b) $$

    Consiste en hallar dos números \(a\) y \(b\) tales que

    Sumados sean iguales a Multiplicados sean iguales a
    $$ a+b=-5 $$ $$ a*b=-14 $$

    La solución, con \(a=-7\) y \(b=2\) es

    $$ f(x)=x^2-5x-14=(x-7)(x+2) $$

    • Ejemplo: factorizar

    $$ f(x)=2x^2+13x-15 $$

    Buscamos factores de la forma \( (2x+a)(x+b) \). Como \(a*b=-15\) se puede intentar primero con combinaciones de 3 y 5 (factores de -15). Algo así:

    $$ (2x+5)(x-3) $$

    $$ (2x-5)(x+3) $$

    $$ (2x+3)(x-5) $$

    $$ (2x-3)(x+5) $$

    ¡Ninguna de las combinaciones anteriores es útil! Sin embargo, hace falta probar con otro par. Combinaciones de 15 y 1. Miremos:

    $$ (2x-15)(x+1) $$

    $$ (2x+15)(x-1)=2x^2+13x-15 $$

    ¡Lo logramos con la última combinación! Observe que en todos los casos usamos combinaciones de números que multiplicados son iguales a -15.

    Factorizaciones sobre los números enteros, reales y complejos

    • Ejercicio: factorizar \(x^2-4\).

    Se puede factorizar sobre los enteros, ya que los coeficientes +2 y -2 son enteros: (x+2)(x-2).

    • Ejercicio: factorizar \(x^2-6\).

    Se puede factorizar sobre los reales, así:

    $$ f(x)=(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) $$

    • Ejercicio: factorizar \(x^2+16\).

    Se puede factorizar sobre los números complejos, así:

    $$ f(x)=(x+4i)(x-4i) $$

    Factorización por sustitución

    • Ejemplo: factorícese completamente sobre los enteros \(f(x)=3x^4+10x^2-8\).

    Podemos realizar la sustitución \(u=x^2\) (o con otra letra cualquiera en lugar de u), entonces:

    $$ f(x)=3x^4+10x^2-8 = 3u^2+10u-8 $$

    Ya sabemos cómo factorizar ésta última expresión:

    $$ 3u^2+10u-8 = (3u-2)(u+4) $$

    Sustituyendo de vuelta, obtenemos:

    $$ (3x^2-2)(x^2+4) $$

    Ninguno de esos polinomios cuadráticos se puede factorizar más (mediante coeficientes enteros), por lo que ya se finalizó.

    • Ejemplo: factorícese completamente sobre los enteros \(f(x)=(x+2y)^2-3(x+2y)-10\).

    Aquí podemos usar la sustitución \(u=x+2y\) y luego factorizar el polinomio cuadrático resultante. Nos queda:

    $$ f(x)=(x+2y)^2-3(x+2y)-10 = u^2-3u-10 $$

    Para factorizar requerimos de dos números que sumados den -3 y multiplicados den -10. Con +2 y -5 logramos el objetivo:

    $$ f(u) = u^2-3u-10 = (u+2)(u-5) $$

    Sustituyendo de vuelta se obtiene:

    $$ f(x) = (x+2y+2)(x+2y-5) $$

    Factorización por etapas

    • Ejemplo: factorícese \(x^6-y^6 \).

    Debemos imaginar esta expresión como una diferencia de cuadrados y luego factorizar de nuevo. Observar que si usamos una sustitución podemos escribir \(a=x^3\) y \(b=y^3\), luego:

    $$ x^6-y^6 = (x^3)(x^3)-(y^3)(y^3) = a \times a - b \times b = a^2 - b^2 $$

    Usando la fórmula de factorización para la diferencia de cuadrados vista al inicio del artículo, obtenemos:

    $$ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (x^3+y^3)(x^3-y^3) $$

    Sabemos que una diferencia de cubos se puede factorizar así:

    $$ x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $$

    Lo cual permite, finalmente, escribir el resultado como:

    $$ x^6-y^6 = (x^3+y^3)(x^3-y^3) = (x-y)(x^2+xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

    Con esto concluye el ejercicio.

    Factorización por agrupación

    • Ejemplo: factorizar \(am-an-bm+bn\).

    Si la expresión tiene más de tres términos es probable que sea necesario agrupar algunos de éstos:

    $$ am-an-bm+bn = (am-an)-(bm-bn) $$

    $$ = a(m-n)-b(m-n) $$

    $$ = (a-b)(m-n) $$

    Observe que \( (m-n) \) fue un factor común de ambos términos.

    • Ejemplo: factorizar \(a^2-4ab+4b^2-c^2\).

    $$ a^2-4ab+4b^2-c^2 = (a^2-4ab+4b^2)-c^2 $$

    $$ = (a^2-2a(2b)+(2b)^2)-c^2 $$

    Lo que se tiene en el paréntesis grande son unos cuadrados perfectos. Nos queda, entonces:

    $$ = (a-2b)^2-c^2 $$

    Obtuvimos una diferencia de cuadrados, que se puede factorizar así:

    $$ = ((a-2b)+c)((a-2b)-c) $$

    $$ = (a-2b+c)(a-2b-c) $$

    • Ejemplo: factorizar \(2x^2+5x+3\).

    El polinomio tiene la forma \(Ax^2+Bx+C\). Si A, B y C no tienen factores comunes y \(A \neq 1 \).

    Paso 1: hallar \( AC \).

    $$ AC=(2)(3)=6 $$

    Paso 2: hallar dos enteros \(m\) y \(n\) cuyo producto sea \( mn=AC \) y sumen \(m+n=B\).

    Enteros m y n cuyo producto es mn=AC=6 1 y 6 -1 y -6 2 y 3 -2 y -3
    Suma m+n 7 -7 5 -5

    Obtuvimos entonces los números m=2 y n=3 que multiplicados resultan en 6 y sumados en 5.

    Paso 3: escribir \(Ax^2+Bx+C=Ax^2+mx+nx+C\).

    $$ 2x^2+5x+3=2x^2+2x+3x+3 $$

    Paso 4: factorizar la última expresión por agrupamiento.

    $$2x^2+5x+3=2x(x+1)+3(x+1) $$

    El resultado es, finalmente:

    $$ 2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1) $$

    Factorización mediante suma y resta de un mismo término

    • Ejemplo: factorizar \(x^4+4\) sobre los enteros.

    Muchos afirmarían que este polinomio no se puede factorizar, pero se verá que sí es posible si se suma y resta \(4x^2\).

    $$ x^4+4 = x^4+4x^2+4-4x^2 $$

    $$ = (x^4+4x^2+4)-4x^2 $$

    $$ = ((x^2)^2+2(x^2)2+(2^2))-(2x)^2 $$

    Se obtendrá una diferencia de cuadrados:

    $$ = (x^2+2)^2-(2x)^2 $$

    Recordar que la diferencia de cuadrados factorizar así:

    $$ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $$

    Obtenemos, entonces:

    $$ (x^2+2)^2-(2x)^2 = ((x^2+2)+2x)((x^2+2)-2x) $$

    Reorganizando términos obtenemos:

    $$ = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2) $$

    División sintética

    En muchas ocasiones es necesario dividir entre polinomios de la forma \( (x-c) \). Para tal división hay una forma corta llamada división sintética. Se ilustrará cómo trabaja para

    $$ (2x^3-x^2+5) / (x-2) $$

    El resultado depende de los coeficientes; las potencias de x sirven principalmente para determinar el lugar de los coeficientes. Para un polinomio de grado 3, como el anterior, los coeficientes son A, B, C, D.

    $$ 2x^3-x^2+5 = Ax^3+Bx^2+Cx+D $$

    Los valores de cada coeficiente son A=2, B=-1, C=0 y D=5. Al número c se le llama divisor sintético, el cual es c=2.

    c=2 2=A -1=B 0=C 5=D
    Siempre se deja vacía 4=2x2 6=3x2 12=6x2
    2=A 3=-1+4 6=0+6 17=5+12

    El procedimiento es así:

    1. Se escribe c siempre en la celda de arriba a la izquierda.
    2. A la derecha en la misma fila se escriben los coeficientes en orden descendente de las potencias de la variable, en este caso x.
    3. Se baja el primer primer coeficiente A sobre la misma columna hasta la tercera fila (2=A).
    4. Se multiplica por c y el resultado se escribe debajo del coeficiente -1=B.
    5. La suma 3=-1+4 se escribe en la tercera fila debajo de -1=B.
    6. Se repiten los pasos 4 y 5 hasta que se cubran todas las columnas.

    La tabla resumida para la división sintética queda así:

    2 2 -1 0 5
    4 6 12
    2 3 6 17

    Nota: Asegúrese de escribir CERO en las celdas cuyos coeficientes le pertenecen a potencias de x que faltan. En el ejercicio anterior falta el término \( Cx \) y por eso dicho coeficiente es cero.

    El polinomio factorizado se puede escribir como:

    $$ \frac{2x^3-x^2+5}{x-2}=(x-2)(2x^2+3x+6)+17 $$

    Nótese, entonces, que la división sintética es útil para factorizar, siempre y cuando se conozca un factor de polinomio. El número 17 se toma como el residuo, y se tiene en cuenta al final.

    • Ejercicio: use división sintética para realizar la siguiente división:

    $$ \frac{3x^3+x^2-15x-5}{x+1/3} $$

    -1/3 3 1 -15 -5
    -1 0 5
    3 0 -15 0

    Nótese que el residuo esta vez es 0, lo que indica que la división es exacta. Se concluye que

    $$ \frac{3x^3+x^2-15x-5}{x+1/3} = 3x^2+0x-15 =3x^2-15 $$

    Esto se puede reescribir, igual que en el ejercicio anterior, como:

    $$ 3x^3+x^2-15x-5 = (x+1/3)(3x^2-15) $$

    Teoremas para factorización de polinomios

    Recuérdese que un polinomio es una expresión de la forma

    $$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0 $$

    A menos que se especifique otra cosa, los coeficientes \( (a_i) \) pueden ser números complejos. Por un cero de \(P(x)\) se entiende cualquier número complejo c (real o no real) tal que \(P(c)=0\). El número c también es llamado una solución o una raíz de la ecuación \( P(x)=0 \).

    Teorema del residuo

    Si se divide un polinomio P(x) entre (x-c), entonces el residuo constante R está dado por R=P(c).

    Para el caso concreto de factorizar un polinomio, su aplicación está en que, si c es un cero, entonces dividir P(x) entre (x-c) dará un residuo R=P(c)=0.

    Teorema del factor

    Un polinomio P(x) tiene a (c) como un cero si y sólo sí tiene a (x-c) como factor.

    Ejemplo: considérese el polinomio

    $$ P(x)=3x^3-8x^2+3x+2 $$

    Obsérvese que

    $$ P(1)=3-8+3+2=0 $$

    Así, 1 es un cero. Por el teorema del factor \( (x-1) \) es un factor de \( P(x) \). Se puede utilizar la división sintética para encontrar el otro factor.

    1 3 -8 3 2
    3 -5 -2
    3 -5 -2 0

    El residuo es R=0, como se esperaba y

    $$ P(x)=(x-1)(3x^2-5x-2) $$

    Podemos utilizar la fórmula cuadrática para encontrar los ceros del polinomio cuadrático, que son

    $$ x_1=2 $$

    $$ x_2=-\frac{1}{3} $$

    Por lo tanto P(x) tiene a 1, 2 y -1/3 como sus tres ceros. Otra posibilidad para factorizar el polinomio cuadrático \( G(x) \) hubiese sido:

    $$ G(x)=3x^2-5x-2 = (3x+1)(x-2) $$

    Si sacamos factor común 3 del primer paréntesis nos queda

    $$ G(x) = 3(x+1/3)(x-2) $$

    De este modo, se resuelve para P(x)=0 y se encuentran de nuevo los valores para \(x_1\) y \(x_2\).

    Otra forma de escribir el teorema del factor es:

    Sea f una función polinomial, entonces (x-c) es un factor de f(x) si y sólo si f(c)=0. Se tienen dos proposiciones:

    a. Si f(c)=0 entonces (x-c) es un factor de f(x).

    b. Si (x-c) es un factor de f(x) entonces f(c)=0.

    Teorema de la factorización completa

    Si

    $$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0 $$

    es un polinomio de n-esimo grado con n>0, entonces hay n números \(c_1, c_2, ... , c_n \) no necesariamente distintos, tales que

    $$ P(x)=a_n(x-c_1)(x-c_2) ... (x-c_n) $$

    Las letras c son los ceros de P(x); pueden o no, ser números reales.

    Acerca del números de ceros

    Afirmación: un polinomio de grado n tiene a lo más n ceros distintos.

    Se llama a c un cero de multiplicidad k de P(x) si (x-c) aparece k veces en su factorización completa. Por ejemplo:

    $$ P(x)=4(x-2)^3(x+1)(x-4)^2 $$

    Los ceros 2, -1 y 4 tienen multiplicidad 3, 1 y 2, respectivamente. Un cero de multiplicidad 1 se llama un cero simple. Obsérvese en el ejemplo que las multiplicidades suman 6, el grado del polinomio. En general, se puede decir esto:

    Un polinomio de n-esimo grado

    tiene exactamente n ceros

    siempre y cuando se cuente

    un cero de multiplicidad k

    como k ceros.

    Teorema de los ceros racionales

    Sea f una función polinomial de grado 1 o mayor de la forma

    $$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0 $$

    con \(a_n \neq 0\) y \(a_0 \neq 0\), donde cada coeficiente es un entero. Si p/q, simplificado, es un cero racional de f, entonces p debe ser un factor de \(a_0\) y q debe ser un factor de \(a_n\).

    Ejemplo: obtenga una lista de ceros racionales posibles de \(f(x)=2x^3+11x^2-7x-6\).

    Primero, obtengo los factores de \(a_0=-6\):

    -6 =1x-6
    =-1x6
    =2x-3
    =-2x3

    Los posibles valores para \(p\) son:

    $$p: \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 $$

    Luego, obtengo los factores de \(a_3=2\):

    2 =1x2
    =-1x-2

    Los posibles valores para \(q\) son:

    $$q: \pm 1, \pm 2 $$

    Ahora se forman todas las razones posibles \(p/q\):

    $$\frac{p}{q}=\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6 $$

    Si f tiene un cero racional se encontrará en esta lista, la cual contiene doce posibilidades.

    Factorización de un polinomio de segundo grado

    • Forma \(Ax^2+Bx+C\) con \(A=1\).

    Si se busca factorizar en los reales, se pueden probar los siguiente pasos:

    1. Calcular el discriminante. Si \( B^2-4AC<0 \) el polinomio es irreducible en los reales. No poseerá ceros reales, ya que su gráfica (una parábola) no cruza la recta y=0. Es decir, la ecuación P(x)=0 no tiene solución real.
    2. Revisar si el polinomio tiene la forma de la factorización del binomio cuadrado perfecto. Bastará entonces con aplicarla para factorizar. Ejemplo: factorizar \(x^2+10x+25=(x+5)^2\).
    3. Revisar si el polinomio se puede factorizar como \( (x+d)(x+e) \) donde busquemos que los números \(d\) y \(e\) sumados sean iguales a \(b\) y multiplicados sean iguales a \(c\). Ejemplo: factorizar \( x^2-x-2=(x-2)(x+1) \).
    4. Aplicar la fórmula cuadrática para hallar los ceros del polinomio y factorizar usando la forma \( (x-c_1)(x-c_2) \), donde \(c_1\) y \(c_2\) son los dos ceros. Ejemplo: factorizar \( x^2+(1/3)x-2/3=(x-2/3)(x+1) \).
    • Forma \( Ax^2+Bx+C \) con \(A \neq 1\).

    1. Calcular el discriminante. Si \( B^2-4AC<0 \) el polinomio es irreducible en los reales. No poseerá ceros reales, ya que su gráfica (una parábola) no cruza la recta y=0. Es decir, la ecuación P(x)=0 no tiene solución real.
    2. Revisar si el polinomio tiene la forma de la factorización del binomio cuadrado perfecto. Bastará entonces con aplicarla para factorizar. Ejemplo: factorizar \( 4x^2+12x+9=(2x)^2+2(2x)(3)+3^2=(2x+3)^2 \).
    3. Revisar si es posible sacar factor común \(A\) para obtener un polinomio de la forma \(x^2+Bx+C\). Ejemplo: \(2x^2+2x-12=2(x^2+x-6)\).
    4. Intentar factorizar mediante ensayo y error, buscando factorizar con la forma \( (Ax+m)(x+n) \), donde se busca que \( mn = C \) y luego se tantea con factores de \( C \) que cumplan esa condición. Ejemplo: \(2x^2+13x-15=(2x+15)(x-1) \). Lea este ejemplo desarrollado AQUÍ.
    5. Intentar factorizar mediante ensayo y error + agrupamiento. Ejemplo: \(2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1) \). Ver ejemplo desarrollado AQUÍ.
    6. Aplicar la fórmula cuadrática para hallar los ceros del polinomio y factorizar usando la forma \( A(x-c_1)(x-c_2) \), donde \(c_1\) y \(c_2\) son los dos ceros. Ejemplo: factorizar \( 3x^2+x-2=3(x-2/3)(x+1) \).

    Ejercicios resueltos

    Acceda a ellos haciendo clic en el siguiente enlace:

    Ejercicios resueltos de Factorización.

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    Solución de cuadriláteros con Autodesk Inventor

    Si desea conocer una herramienta de dibujo avanzada para solucionar problemas de Geometría Euclidiana, lo invito a mirar un video tutorial para aprovechar esta poderosa herramienta.

    Vea el artículo aquí: Solución de problemas de cuadriláteros con Inventor


    DEFINICIONES

    PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

    Paralelogramo ABCD

    ABCD es un paralelogramo luego, por definición, \(\overline{AB} \parallel \overline{DC}\) y \(\overline{AD} \parallel \overline{BC}\).


    RECTÁNGULO: Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos interiores congruentes.

    ABCD es un rectángulo luego, por definición, \(\angle A \cong \angle B \cong \angle C \cong \angle D \).


    ROMBO: Es un cuadrilátero con sus cuatro lados congruentes.

    ABCD es un rombo luego, por definición, \( \overline{AB} \cong \overline{BC} \cong \overline{CD} \cong \overline{DA} \).


    CUADRADO: Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos interiores congruentes y cuatro lados congruentes, es decir si es rectángulo y rombo a la vez.

    ABCD es un cuadrado luego, por definición, \(\angle A \cong \angle B \cong \angle C \cong \angle D\) y \(\overline{AB} \cong \overline{BC} \cong \overline{CD} \cong \overline{DA}\).


    TRAPECIO: Es un cuadrilátero convexo con un par de lados paralelos y el otro par no paralelos.

    ABCD es un trapecio luego, por definición, \(\overline{AB} \parallel \overline{DC}\) y \(\overline{AD} \nparallel \overline{BC}\).


    TRAPECIO ISÓSCELES: Es un trapecio que tiene congruentes los lados no paralelos.

    ABCD es un trapecio isósceles luego, por definición, ABCD es un trapecio y \(\overline{AD} \cong \overline{BC}\).


    TRAPECIO RECTÁNGULO: Es un trapecio que tiene un ángulo recto.

    ABCD es un trapecio rectángulo luego, por definición, ABCD es un trapecio y \(\angle A = 90°\).


    TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero con ningún par de lados paralelos.

    ABCD es un trapezoide luego, por definición, \(\overline{AB} \nparallel \overline{CD}\) y \(\overline{AD} \nparallel \overline{BC}\).


    PROPIEDADES DEL PARALELOGRAMO

    TEOREMA: En todo paralelogramo se cumplen las siguientes propiedades:

    1. Los lados opuestos son respectivamente paralelos.
    2. Los lados opuestos son respectivamente congruentes.
    3. Los ángulos opuestos son respectivamente congruentes.
    4. Las diagonales se cortan en su punto medio.

    CRITERIOS DE PARALELOGRAMO

    TEOREMA: Si en un cuadrilátero convexo se cumple cualquiera de las siguientes propiedades entonces es un paralelogramo:

    1. 1. Los lados opuestos son paralelos.
    2. Los lados opuestos son respectivamente congruentes.
    3. Un par de lados opuestos son paralelos y congruentes.
    4. Los ángulos opuestos son respectivamente congruentes.
    5. Las diagonales se cortan en su punto medio.

    PROPIEDADES DEL RECTÁNGULO

    TEOREMA: En todo rectángulo se cumplen las siguientes propiedades:

    1. Los cuatro ángulos interiores son rectos.
    2. El rectángulo es paralelogramo.
    3. Las diagonales son congruentes.

    CRITERIOS DE RECTÁNGULO

    TEOREMA: Si en un cuadrilátero convexo se cumple cualquiera de las siguientes propiedades entonces es un rectángulo:

    1. Tiene tres ángulos rectos.
    2. Es un paralelogramo con un ángulo recto.
    3. Las diagonales son congruentes y se cortan en su punto medio.

    PROPIEDADES DEL ROMBO

    TEOREMA: En todo rombo se cumplen las siguientes propiedades:

    1. Los cuatro lados son congruentes.
    2. Es paralelogramo.
    3. Las diagonales son perpendiculares.
    4. Cada diagonal es bisectriz.

    CRITERIOS DE ROMBO

    TEOREMA: Si en un cuadrilátero convexo se cumple cualquiera de las siguientes propiedades entonces es un rombo:

    1. Los cuatro lados son congruentes.
    2. Es un paralelogramo con dos lados consecutivos congruentes.
    3. Las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
    4. Cada diagonal es bisectriz.

    PROPIEDADES DEL CUADRADO

    TEOREMA: Todo cuadrado es paralelogramo, rectángulo y rombo y por lo tanto cumple todas las propiedades de éstos.

    CRITERIOS DE CUADRADO

    TEOREMA: Si en un cuadrilátero convexo se cumple cualquiera de las siguientes propiedades entonces es un cuadrado:

    1. Es rectángulo y rombo.
    2. Es un rectángulo con dos lados consecutivos congruentes.
    3. Es un rombo con un ángulo recto.
    4. Las diagonales son perpendiculares, congruentes y se cortan en su punto medio.

    PROPIEDADES DEL TRAPECIO

    TEOREMA: En todo trapecio los lados paralelos son desiguales.

    En un trapecio, los lados paralelos se llaman BASE MAYOR y BASE MENOR; el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se llama la BASE MEDIA; la distancia entre las bases es la ALTURA.

    TEOREMA: En un trapecio, los ángulos adyacentes a cada uno de los lados no paralelos son suplementarios.

    Teorema de la base media de un trapecio

    La base media de un trapecio es paralela a las bases y es congruente con la semisuma de las bases mayor y menor, es decir:

    $$ MN = \frac{AB+DC}{2} $$

    Teorema de la base media de un trapecio

    Demostración: Teorema de base media de un trapecio

    TEOREMA: El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio está contenido en la base media y es congruente con la semidiferencia entre las bases mayor y menor.


    PROPIEDADES DEL TRAPECIO ISÓSCELES

    TEOREMA: En todo trapecio isósceles se cumplen las siguientes propiedades:

    1. Los lados no paralelos son congruentes.
    2. Los ángulos adyacentes a cada una de sus bases son congruentes.
    3. Los ángulos opuestos son suplementarios.
    4. Las diagonales son congruentes.
    5. Las mediatrices de las bases coinciden, y las mediatrices de los cuatro lados concurren.

    Teorema de ángulos congruentes y suplementarios en un trapecio isósceles

    En todo trapecio isósceles se cumple que los ángulos adyacentes a cada una de sus bases son congruentes y que los ángulos opuestos son suplementarios, es decir:

    $$ \angle A = \angle B $$

    $$ \angle D = \angle C $$

    $$ \angle A + \angle D = \angle B + \angle C = 180° $$

    Trapecio isósceles

    Demostración: Teorema de ángulos congruentes y suplementarios en trapecio isósceles

    CRITERIOS DE TRAPECIO ISÓSCELES

    TEOREMA: Si en un trapecio se cumple cualquiera de las siguientes propiedades entonces es isósceles:

    1. Los lados no paralelos son congruentes.
    2. Los ángulos adyacentes a una de las bases son congruentes.
    3. Un par de ángulos opuestos son suplementarios.
    4. Las diagonales son congruentes.
    5. Las mediatrices de las bases coinciden.

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    Documento pdf | Conceptos básicos de Geometría Euclidiana

    Introducción

    Geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, considerada bajo sus tres formas: Línea, superficie y volumen.

    Para su estudio se admite la existencia de algunos objetos primitivos, dotados de ciertas propiedades, y se aceptan unas reglas de trabajo para manipularlos y obtener nuevas propiedades de ellos.

    Las propiedades admitidas como válidas son los axiomas y las que deben justificarse son los teoremas. Las reglas de trabajo deben ser universales y se utilizan las de la lógica matemática.

    Axiomas y definiciones

    AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO: Existe un conjunto llamado el espacio que tiene subconjuntos propios llamados planos, quienes a su vez tienen subconjuntos propios llamados rectas. Cada uno de estos conjuntos está formado por infinitos elementos llamados puntos.

    Realmente el axioma de existencia no define ni el espacio, ni un plano, ni una recta, ni un punto. El conjunto de todos los axiomas permitirá que estos objetos alcancen las propiedades que intuimos de ellos.

    FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquier subconjunto propio del espacio.

    PUNTO INTERIOR (EXTERIOR): Si un punto pertenece una figura entonces es interior a ella, (está sobre la figura, o la figura pasa por el punto). En caso contrario es exterior a la figura.

    AXIOMA DE ENLACE DE LA RECTA: Sean A y B dos puntos distintos, entonces existe una y sólo una recta a la cual ambos pertenecen, llamada ''la recta AB'', (\( \overleftrightarrow{AB} \)).

    PUNTOS COLINEALES O ALINEADOS: Tres o más puntos son colineales o alineados si están en la misma recta. En caso contrario son no colineales o no alineados.

    AXIOMA DE ENLACE DEL PLANO: Sean A, B y C, puntos no colineales, entonces existe uno y sólo un plano al cual ellos pertenecen, llamado “el plano ABC”, (\( \pi \) ABC).

    PUNTOS COPLANARES: Cuatro o más puntos son coplanares si están en el mismo plano. En caso contrario son no coplanares.

    AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO: Si una recta L y un plano \( \pi \) tienen dos puntos distintos en común, entonces la recta L está contenida en el plano \( \pi \).

    AXIOMA DE INTERSECCIÓN DE PLANOS: Si dos planos distintos tienen algún punto en común entonces su intersección es una recta.

    AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA: Una recta es un conjunto linealmente ordenado, que no tiene ni primero ni último punto y no tiene puntos consecutivos.

    AXIOMA DE SEPARACIÓN DE LA RECTA: Todo punto de una recta separa a los demás puntos de la recta en dos conjuntos: el conjunto de los que le preceden y el conjunto de los que le siguen y tales que:

    1. Todo punto de la recta, distinto de él, pertenece a uno y sólo a uno de dichos conjuntos.
    2. El punto dado está entre dos puntos de conjuntos distintos y no está entre dos puntos del mismo conjunto.

    SEMIRRECTA: Si O es un punto de una recta L entonces se llama semirrecta de origen O al conjunto formado por el punto O y cada una de los conjuntos en que él divide a la recta, es decir:

    1. O y todos los puntos de L que le preceden.
    2. O y todos los puntos de L que le siguen.

    Si O está entre A y B entonces las semirrectas obtenidas OA y OB se llaman semirrectas opuestas.



    SEGMENTO DE RECTA: El conjunto formado por los puntos A, B y todos los puntos P entre A y B se llama segmento de recta AB y se denota por .

    Los puntos A y B se llaman extremos. Las semirrectas determinadas por los extremos de un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, son las prolongaciones del segmento.

    AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL PLANO: Toda recta de un plano separa a los demás puntos del plano en dos regiones tales que:

    1. Todo punto del plano, exterior a la recta, pertenece a una y sólo a una de las regiones.
    2. El segmento que une dos puntos de regiones distintas corta a la recta y de la misma región no la corta.

    SEMIPLANO: Dado un plano y una recta en él, un semiplano es el conjunto formado por la recta y cada una de las regiones en que ella divide al plano. La recta es el borde de cada semiplano y los semiplanos son semiplanos opuestos.

    AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL ESPACIO: Todo plano separa a los demás puntos del espacio en dos regiones tales que:

    1. Todo punto del espacio, exterior al plano, pertenece a una y sólo a una de las regiones.
    2. El segmento que une dos puntos de distintas regiones corta al plano y de la misma región no lo corta.

    SEMIESPACIO: Es el conjunto formado por un plano dado y cada uno de los dos conjuntos en que él divide a los demás puntos del espacio. El plano se llama borde o cara de cada semiespacio y ellos son semiespacios opuestos.

    OBSERVACIONES

    1. Podemos citar como ejemplos de figuras geométricas: un plano, una recta, un semiplano, una semirrecta, un semiespacio y un conjunto formado por un punto.
    2. Por el axioma de existencia cada recta es un subconjunto propio del espacio y entonces existen puntos exteriores a ella, es decir en el espacio existen puntos no colineales.
    3. Según el axioma de existencia los puntos del espacio no son todos coplanares.
    4. El axioma de enlace de la recta garantiza que dos puntos siempre son colineales.
    5. Los puntos de un plano no son todos colineales porque dos puntos de él determinan una recta y si ella es un subconjunto propio del plano entonces existen puntos del plano exteriores a ella.
    6. Los puntos de una recta son coplanares.
    7. Tres puntos siempre son coplanares, pero cuatro no necesariamente lo son.
    8. Por un punto pasa más de una recta.
    9. Entre dos puntos distintos existen infinitos puntos.

    COINCIDENCIA DE RECTAS

    TEOREMA: Si dos rectas tienen dos puntos distintos en común, entonces ellas coinciden.

    Demostración: Supongamos que dos rectas tienen dos puntos distintos en común. Por el axioma de enlace de la recta por dos puntos distintos pasa sólo una recta, entonces las dos rectas son la misma recta.

    ** En consecuencia, para probar que dos rectas coinciden, será suficiente probar que tienen dos puntos distintos en común.

    COINCIDENCIA DE PLANOS

    TEOREMA: Si dos planos tienen tres puntos no colineales en común, entonces los planos coinciden.

    ** Para probar que dos planos coinciden, será suficiente probar que tienen tres puntos no colineales en común.

    NOTA: La no colinealidad de los tres puntos es fundamental porque por tres puntos colineales pasa más de un plano porque una recta está contenida en más de un plano.

    En efecto, si se toman D exterior a la recta AB y E exterior al plano ABD entonces la recta AB está contenida en los planos ABD y ABE, que son distintos. En definitiva, por tres puntos colineales pasa más de un plano.

    POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS

    Por el axioma de enlace dos rectas distintas máximo pueden tener un punto en común, es decir, tienen solamente un punto en común o ninguno.

    RECTAS SECANTES: Son las que tienen solamente un punto en común. Se dice que ellas concurren en dicho punto.

    RECTAS PARALELAS: Son rectas coplanares que no tienen puntos en común.

    RECTAS CRUZADAS: Son rectas no coplanares.

    DETERMINACIÓN DE UN PLANO

    TEOREMA (PLANO: RECTA Y PUNTO EXTERIOR): Por una recta y un punto exterior a ella pasa uno y sólo un plano que les contiene.

    TEOREMA (PLANO: RECTAS SECANTES): Dos rectas secantes determinan uno y sólo un plano que les contiene.

    Demostración: El punto en común y otros dos puntos, uno en cada una de las rectas, son tres puntos no colineales, que determinan un único plano en el cual estarán contenidas ambas rectas.

    COROLARIO: Dos rectas cruzadas no tienen ningún punto en común.

    Demostración: En efecto, si tuviesen sólo un punto en común serían secantes y por lo tanto coplanares; si tuviesen dos o más puntos en común serían la misma recta y también resultarían coplanares.

    TEOREMA (PLANO: RECTAS PARALELAS): Dos rectas paralelas determinan uno y sólo un plano que les contiene.

    POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA

    Un plano y una recta no contenida en él, máximo tienen un punto en común, es decir tienen sólo uno o ningún punto en común.

    RECTA Y PLANO SECANTES: Una recta y un plano son secantes si tienen sólo un punto en común. Se dice que la recta y el plano son secantes en dicho punto.

    RECTA Y PLANO PARALELOS: Una recta y un plano son paralelos si no tienen ningún punto en común.

    POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS

    PLANOS SECANTES: Son planos distintos con algún punto común.

    TEOREMA: La intersección entre dos planos secantes es una recta.

    PLANOS PARALELOS: Son planos que no tienen ningún punto en común.

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    SEGMENTOS

    Recordemos que dados los puntos A y B, se llama segmento de recta AB (\(\overline{AB}\)) al conjunto formado por los puntos A, B y todos los puntos P entre A y B.

    Los puntos A y B se llaman extremos. Las semirrectas determinadas por los extremos de un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, se llaman las prolongaciones del segmento.

    MEDIDA DE SEGMENTOS: La medida de un segmento AB, denotada por \(m(\overline{AB})\) o AB, es la distancia entre sus puntos extremos:

    $$ m(\overline{AB})=d(A,B)=AB $$

    SEGMENTOS CONGRUENTES: Son segmentos que tienen igual medida:

    $$ \overline{AB} \cong \overline{CD} \leftrightarrow m(\overline{AB})=m(\overline{CD}) \leftrightarrow AB=CD $$

    CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a confusión en lugar de \( \overline{AB} \) usaremos AB y en lugar de \( \overline{AB} \cong \overline{CD} \) usaremos AB=CD.

    SEGMENTOS DESIGUALES: Son segmentos no congruentes. Entre dos segmentos desiguales será menor el que tenga menor medida:

    $$ \overline{AB} < \overline{CD} \leftrightarrow m(\overline{AB})<m(\overline{CD}) \leftrightarrow AB<CD $$

    AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS: En toda semirrecta \( \overrightarrow{OA} \), para cada real positivo ''x'', existe un único punto B sobre \( \overrightarrow{OA} \), distinto de O, tal que \( m(\overline{OB})=x \).

    PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es el punto entre los extremos del segmento que lo divide en dos segmentos congruentes.

    M es punto medio de \( \overline{AB} \leftrightarrow \overline{AM} \cong \overline{MB}\)

    ó

    M es punto medio de \( \overline{AB} \leftrightarrow AM = MB = AB/2 \)

    SEGMENTOS ADYACENTES: Son dos segmentos de extremos colineales y que tienen un extremo común situado entre los extremos no comunes.

    SUMA DE SEGMENTOS: Si \( \overline{AB} \) y \( \overline{BC} \) son segmentos adyacentes entonces el segmento \( \overline{AC} \) es la suma de los segmentos \( \overline{AB} \) y \( \overline{BC} \):

    $$ AC=AB+BC $$

    Además:

    $$ AB=AC-BC $$

    $$ BC=AC-AB $$

    Para sumar dos segmentos no adyacentes se construyen dos segmentos adyacentes respectivamente congruentes a ellos.

    ÁNGULOS

    ÁNGULO: Es la figura formada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Si ellas son \( \overrightarrow{OA} \) y \( \overrightarrow{OB} \), se denota por \( \angle AOB \) o \( A\hat{O}B \). El origen O es el vértice del ángulo y las semirrectas son los lados del ángulo.

    Euclidiana

    INTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el conjunto formado por los puntos que están en la intersección de dos semiplanos, (cada uno de ellos con un lado sobre su borde y conteniendo al lado restante), excepto los que están sobre los lados del ángulo.

    EXTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el subconjunto del plano del ángulo formado por los puntos que no están sobre los lados del ángulo ni en el interior del ángulo.

    ÁNGULO NULO: Es el ángulo que forma toda semirrecta consigo misma.

    ÁNGULO LLANO: Es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas.

    AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado un semiplano con una semirrecta \( \overrightarrow{OA} \), fija en su borde, entonces a cada semirrecta de dicho semiplano, se le asigna un único número real ''a'' en el intervalo [0,180]. Para la semirrecta \( \overrightarrow{OA} \) se asigna el 0 y para su semirrecta opuesta el 180.

    MEDIDA SEXAGESIMAL DE UN ÁNGULO: La ''medida'' (sexagesimal) de un \( \angle AOB\) es igual a ''a'' grados sexagesimales, tomando el número real ''a'' en el intervalo [0,180], que le asigna el axioma anterior y lo denotaremos por:

    $$ m( \angle AOB)=a $$

    O simplemente:

    $$ \angle AOB=a $$

    CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA:

    Según su medida los ángulos se clasifican así:

    • \( \alpha \) es NULO si \( \alpha=0° \).
    • \( \alpha \) es AGUDO si \( 0° < \alpha < 90° \).
    • \( \alpha \) es RECTO si \( \alpha=90° \).
    • \( \alpha \) es OBTUSO si \( 90° < \alpha < 180° \).
    • \( \alpha \) es LLANO si \( \alpha =180° \).

    ÁNGULOS CONGRUENTES: Son ángulos que tienen igual medida:

    $$ \angle ABC \cong \angle DEF \leftrightarrow m(\angle ABC)=m( \angle DEF) $$

    CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a confusión en lugar de \( \angle ABC \cong \angle DEF \) o de \( m(\angle ABC)=m( \angle DEF) \) usaremos \( \angle ABC= \angle DEF \).

    ÁNGULOS DESIGUALES: Son dos ángulos no congruentes. Entre dos ángulos desiguales será menor el que tenga menor medida.

    AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS: Dado un semiplano y fijada una semirrecta \( \overrightarrow{OA} \) sobre su borde, entonces para cada real ''x'' en el intervalo [0,180], existe solamente una semirrecta \( \overrightarrow{OB} \) en dicho semiplano, tal que \( m( \angle AOB ) = x° \).

    BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Es la semirrecta interior que lo divide en dos ángulos congruentes. Si \( \overrightarrow{BX} \) es una la semirrecta interior al \( \angle ABC \) entonces:

    \( \overleftrightarrow{BX} \) es bisectriz de \(\angle ABC \leftrightarrow \angle ABX = \angle XBC = \angle ABC/2 \)

    Ángulo ABC

    ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos coplanares que tienen el mismo vértice, un lado común y cada uno de los lados no comunes está en el exterior del otro ángulo.

    Ángulo AOBC

    SUMA DE ÁNGULOS: Si \( \angle AOC \) y \( \angle COB \) son adyacentes, entonces el \( \angle AOB \) es la suma de los ángulos \( \angle AOC \) y \( \angle COB \):

    $$ \angle AOB = \angle AOC + \angle COB $$

    Además:

    $$ \angle AOC = \angle AOB - \angle COB $$

    $$ \angle COB = \angle AOB - \angle AOC $$

    Para sumar dos ángulos no adyacentes se construyen dos ángulos adyacentes respectivamente congruentes a ellos.

    ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. De cada uno de ellos se dice que es el complemento del otro:

    $$ \angle A + \angle B = 90° $$

    ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Cada uno de ellos es el suplemento del otro:

    $$ \angle A + \angle B = 180° $$

    PAR LINEAL: Son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son semirrectas opuestas.

    ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las semirrectas opuestas de los lados del otro.

    TEOREMA: Si dos ángulos forman un par lineal entonces son suplementarios.

    TEOREMA: Si dos ángulos adyacentes, \( \angle ABC \) y \( \angle CBD \) son suplementarios entonces forman un par lineal y por lo tanto los puntos A, B y D son colineales.

    ** Este teorema se utilizará para probar que tres puntos son colineales.

    TEOREMA DE ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

    TEOREMA: Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas.

    RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas secantes L y M son perpendiculares, \( L \perp M\), si forman por lo menos un ángulo recto. En caso contrario son oblicuas.

    Rectas perpendiculares

    Dos segmentos (semirrectas) son perpendiculares si están contenidos en rectas perpendiculares.

    TEOREMA: Dos rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos.

    TEOREMA: Las bisectrices de un par lineal son perpendiculares.

    TEOREMA: Por cada punto de una recta pasa una y solamente una recta perpendicular a ella.

    Demostración: Por el axioma de construcción de ángulos para x=90 existe una y sólo una semirrecta que determina la recta pedida.

    MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: Es la recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular al segmento.

    Si M es el punto medio de \( \overline{AB} \) y \( \overleftrightarrow{L} \perp \overline{AB}\) entonces \(\overleftrightarrow{L}\) es mediatriz de \( \overline{AB} \):

    LÍNEA POLIGONAL: Sea \(n \in Z^+ \) y \( n \geq 3 \). Si \(A_1, A_2, ... , An\) son puntos coplanares, tales que ninguna tripleta de consecutivos son colineales entonces a la unión de los segmentos \( \overline{A_1 A_2}, \overline{A_2 A_3}, ... , \overline{A_{n-1} A_n} \) se le llama poligonal \(A_1 A_2 ... A_n\).

    Los extremos de cada segmento son los vértices de la poligonal, los segmentos son los lados y la suma de las medidas de sus lados es el perímetro.

    Si el extremo final del último segmento coincide con el inicial del primero entonces la poligonal es cerrada, en caso contrario la poligonal es abierta.

    POLÍGONO: Es la región del plano limitada por una poligonal cerrada. Según el número de lados se llaman:

    • Triángulo (3).
    • Cuadrilátero (4).
    • Pentágono (5).
    • Hexágono (6).
    • Heptágono (7).
    • Octágono (8).
    • Eneágono (9).
    • Decágono (10).
    • Dodecágono (12).
    • Pentedecágono (15).

    POLÍGONO CONVEXO: Un polígono es convexo si al unir dos puntos cualesquiera situados sobre dos lados distintos, el segmento está contenido en el polígono. En caso contrario es no convexo.

    ÁNGULO INTERIOR DE UN POLÍGONO: ángulo interior de un polígono convexo es el formado por dos lados consecutivos. 

    ÁNGULO EXTERIOR DE UN POLÍGONO: ángulo exterior es el que forma un par lineal con un ángulo interior.

    POLÍGONO REGULAR: Es un polígono con todos sus lados congruentes y todos sus ángulos interiores congruentes.

    CIRCUNFERENCIA: Dados un plano \( \pi \), un punto O en dicho plano, y un número real positivo r, (r > 0), se llama ''Circunferencia de centro O y radio r en el plano \( \pi \)'' y se denota por: ''C(O;r)'', al conjunto formado por todos los puntos P del plano \( \pi \) tales que su distancia al centro es igual a r, es decir, tales que OP = r.

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    Durante las demostraciones en Geometría Euclidiana nos referimos a las propiedades de los números reales con su nombre, enunciándolas o bien como propiedades de los números reales simplemente. En esta sección se omitirán las propiedades de las desigualdades (relaciones de orden).

    Propiedades de la igualdad

    1. Reflexiva: \(a=a\).
    2. Simétrica: si \(a=b \rightarrow b=a\).
    3. Transitiva: si \(a=b \land b=c \rightarrow a=c\).
    4. Aditiva: si \(a=b \land c=d \rightarrow (a+c)=(b+d)\).
    5. De la sustracción: si \(a=b \land c=d \rightarrow (a-c)=(b-d)\).
    6. Multiplicativa: si \(a=b \land c=d \rightarrow ac=bd\).
    7. De la división: si \(a=b \land c=d \rightarrow a/c=b/d\) con \(c \neq 0 \land d \neq 0\).
    8. Cancelativa: si \( (ac=bc \land c \neq 0) \rightarrow a=b \).
    9. Sustitutiva: una ecuación no cambia de validez si una expresión se sustituye por otra equivalente.

    Las propiedades de la adición y la multiplicación constituyen las propiedades de campo de los números reales.

    Propiedades de la adición

    Si \(a, b, c \in R \), entonces se cumple:

    1. Cerradura: \(a+b\) es un número real.
    2. Asociativa: \( (a+b)+c=a+(b+c)\).
    3. Modulativa: \( a+0=0+a=a \).
    4. Invertiva: \( a+(-a)=(-a)+a=a-a=0 \).
    5. Conmutativa: \( a+b=b+a \).

    Propiedades de la multiplicación

    Si \(a, b, c \in R \), entonces se cumple:

    1. Cerradura: \( a.b \) es un número real.
    2. Asociativa: \( a.(b.c)=(a.b).c \)
    3. Conmutativa: \( a.b=b.a \)
    4. Modulativa: \( 1.a=a \)
    5. Invertiva: \( a.(1/a)=(1/a).a=1 \), con \( a \neq 0 \).
    6. Distributiva: \( a.(b+c)=(b+c).a=ab+ac \).
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