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Esfuerzo de von Mises (Tensión de von Mises)


También se le llama criterio de la máxima energía de distorsión. Se basa en el cálculo de la energía de distorsión en un material dado, es decir, de la energía asociada con cambios en la forma del material. De acuerdo con este criterio, nombrado en honor del matemático germano-estadounidense Richard von Mises (1883-1953), un componente estructural dado es seguro siempre que el valor máximo de la energía de distorsión por unidad de volumen en ese material permanezca más pequeño que la misma energía requerida para hacer fluir una probeta del mismo material sometida a tracción (tomado del texto de Mecánica de materiales de Beer, McGraw-Hill, 5a edición). Es usado como criterio de falla para materiales dúctiles, el cual indica que el esfuerzo de von Mises \( \sigma_{VM} \) debe ser menor que la resistencia (esfuerzo) a la fluencia \(\sigma_Y\) del material. Se puede escribir como:

$$ \sigma_{VM} \leq \sigma_Y $$

El esfuerzo de von Mises se puede expresar como:

$$ \sigma_{VM} = \sqrt{I_1^2-3I_2} $$

Donde \(I_1\) e \(I_2\) son los primeros dos invariantes del tensor de esfuerzo. Para un estado general de esfuerzo en un punto de un material \(I_1\) e \(I_2\) están dados por:

$$ I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z $$

$$ I_2 = \sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x - \tau_{yz}^2 - \tau_{xz}^2 - \tau_{xy}^2 $$

En términos de los esfuerzos principales \( \sigma_1 \), \( \sigma_2 \) y \( \sigma_3 \), los dos invariantes pueden escribirse como:

$$ I_1 = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 $$

$$ I_2 = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2 \sigma_3 + \sigma_3 \sigma_1 $$

Es fácil demostrar que el esfuerzo de von Mises puede escribirse en la forma:

$$ \sigma_{VM} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{ \left( \sigma_1 - \sigma_2 \right)^2 + \left( \sigma_2 - \sigma_3 \right)^2 + \left( \sigma_3 - \sigma_1 \right)^2 } $$

Para un estado plano de esfuerzos se tiene:

$$ I_1=\sigma_x + \sigma_y $$

$$ I_2=\sigma_x \sigma_y - \tau_{xy}^2 $$

Y para un estado plano de deformaciones se tiene:

$$ I_1=\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z $$

$$ I_2=\sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x - \tau_{xy}^2 $$

Donde:

$$ \sigma_z=\nu \left(\sigma_x + \sigma_y \right) $$


Referencia bibliográfica: CHANDRUPATLA, T. & Belegundu, A. Introduction to Finite Elements in Engineering. Third Edition. Prentice-Hall, 2002.


 

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23. Se tiene el plano \( \pi: x+y-z=0 \), el punto R(0,2,1) y la recta \(l\):

$$ x=1-t $$

$$ y=1+t $$

$$ z=2t $$

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a R, es perpendicular a \( l \) y paralela a \( \pi \).

 

Solución

 Ej23_Rectas_y_planos.pdf

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21. La recta con ecuación,

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{2-x}{-1}=1-y=z $$

se interseca con el plano \( \pi: x-y-3z+2=0 \) en el punto G. Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto G y a la recta,

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~\frac{x-1}{2}=y=\frac{z-2}{3} $$

 

Solución

 Ej21_Rectas_y_planos.pdf

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22. Se tiene el plano \( \pi: x+y+2z=1 \), el punto R(0,1,2) y la recta \(l\):

$$ x=-1+t $$

$$ y=1-t $$

$$ z=2t $$

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a R, es perpendicular a \( l \) y paralela a \( \pi \).

 

Solución

 Ej22_Rectas_y_planos.pdf

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20. La recta con ecuación,

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~x=\frac{2-y}{-1}=1-z $$

se interseca con el plano \( \pi: 3x-y+z-3=0 \) en el punto G. Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto G y a la recta,

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~x=y+5=\frac{z-10}{2} $$

 

Solución

Ej20_Rectas_y_planos.pdf