Inicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivado

27. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta \( \overleftrightarrow{L_1} \) que pasa por el punto \( Q(3,-2,1) \) y es ortogonal e interseca a la recta

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~~~x+1=\frac{y-2}{2}=\frac{4-z}{3} $$

Hallar, adicionalmente, las coordenadas del punto de intersección de \( \overleftrightarrow{L_1} \) y \( \overleftrightarrow{L_2} \).

SOLUCIÓN

Descargue la solución en pdf haciendo clic aquí: Ej27_Rectasyplanos.pdf

Inicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivado

21. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si AC forma con los lados AB y AD ángulos de 45° y con BD un ángulo de 70° (tome el ángulo BOC=70°, con O punto de intersección entre AC y BD).

DESARROLLO

HIPÓTESIS

1. Circunferencia centro en P y radio r: C(P,r).

2. ABCD cuadrilátero inscriptible (los vértices pertenecen a la circunferencia).

3. \( m(B\hat{A}C) = \alpha = 45° \).

4. \( m(C\hat{A}D) = \alpha ' = 45° \).

5. \( m(B\hat{O}C) = \beta = 70° \).

TESIS

\( m(B\hat{A}D) = ? \).

\( m(A\hat{D}C) = ? \).

\( m(D\hat{C}B) = ? \).

\( m(C\hat{B}A) = ? \).

PROPOSICIÓN RAZÓN
6. $$ \theta'=45° $$ Corolario del Teorema del Ángulo Inscrito. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco (BC) son congruentes.
7. $$ \delta=45° $$ Corolario del Teorema del Ángulo Inscrito. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco (DC) son congruentes.
8. $$ m(\overset{\frown}{BC})=90° $$ Por el Teorema del ángulo inscrito. De 3.
9. $$ m(\overset{\frown}{DC})=90° $$ Por el Teorema del ángulo inscrito. De 4.
10. $$ \beta=\beta'=70° $$ Por Teorema de ángulos opuestos por el vértice y 5.
11. $$ m(\overset{\frown}{AD})=50° $$ Por Teorema del ángulo interior aplicado a \(\beta\) usando 8.
12. $$ \omega=25° $$ Por Teorema del ángulo inscrito usando valor del arco AD. De 11.
13. $$ \delta'=25° $$ Por Teorema del ángulo inscrito usando valor del arco AD. De 11.
14. $$ \mu=180°-\beta=110° $$ Por axioma de medida de ángulos usando valor de \(\beta\). De 10.
15. $$\overset{\frown}{AB}=360°-\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{DC}-\overset{\frown}{BC} = 130° $$ Por axioma de medida de arcos y diferencia de arcos usando 8, 9, 11 y propiedades de los reales.
16. $$ \theta=\omega'=65° $$ Por Teorema de ángulo inscrito usando valor del arco AB. De 15.
17. $$ m(B\hat{A}D) = \alpha+\alpha' = 90° $$ Por suma de ángulos adyacentes. Suma de 3 y 4.
18. $$ m(A\hat{D}C) = \theta+\theta' = 110° $$ Por suma de ángulos adyacentes. Suma de 6 y 16.
19. $$ m(D\hat{C}B) = \omega+\omega' = 90° $$ Por suma de ángulos adyacentes. Suma de 12 y 16.
20. $$ m(C\hat{B}A) = \delta+\delta' = 70° $$ Por suma de ángulos adyacentes. Suma de 7 y 13.

Ratio: 2 / 5

Inicio activadoInicio activadoInicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivado

8. En un triángulo rectángulo ABC de hipotenusa a y altura h, se inscribe un cuadrado que tiene un lado sobre la hipotenusa. Calcular el lado del cuadrado en función de a y h.

SOLUCIÓN

HIPÓTESIS

1. \( \triangle ABC \) rectángulo.

2. Hipotenusa \( BC=a \).

3. Altura \( AH=h \) del triángulo \( ABC \).

4. Cuadrado FGED de lado \( l \) inscrito en \(\triangle ABC\). Lado DE pertenece a la hipotenusa.

TESIS

\( l=f(a,h) \).

PROPOSICIÓN RAZÓN
5. $$ m(C\hat{A}B)=\theta=90° $$ De 1. Por definición de triángulo ABC rectángulo.
6. $$ FG \parallel CB $$ De 4. Lado DE pertenece a la hipotenusa CB, luego C-D-E-B son colineales. FG es paralelo con CB por propiedad del cuadrado. Sus lados opuestos son paralelos.
7. $$ \alpha = \alpha' $$ De 6. Se tienen dos paralelas y una transversal que es la recta B-G-A. Con esto, se puede usar el Teorema de ángulos correspondientes congruentes que se forman entre dos paralelas y una transversal.
8. $$ \triangle FAG \sim \triangle ABC $$ Por el criterio de Semejanza Ángulo-Ángulo (SAA). Los ángulos congruentes se tienen en los pasos 5 (común a ambos triángulos) y 7.
9. $$ AH \perp CB $$ De 3. Por la definición de altura del triángulo ABC.
10. $$ AP \perp FG $$ Por criterio de perpendicularidad, que dice: si tengo dos rectas paralelas, toda perpendicular a una de ellas, será también perpendicular a la otra. El paralelismo está dado en 6 y la perpendicularidad está dada en 9.
11. \( AP \) es una altura del triángulo FAG. Por la definición de altura. De 10.
12. $$ \frac{FG}{CB}=\frac{AP}{AH} $$ Por el teorema que dice: si dos triángulos son semejantes, entonces la razón entre dos elementos rectilíneos homólogos (alturas, medianas, bisectrices) es igual a la razón de semejanza entre los triángulos. Semejanza demostrada en 8. Elementos homólogos demostrados en 3 y 11.
13. $$ \frac{l}{a}=\frac{AP}{h} $$ Por sustitución de 2, 3 y 4 en 12.
14. $$ l = \frac{a . AP}{h} $$ De 13. Propiedad de las proporciones.
15. $$ GE \perp DE $$ Por definición de cuadrado. De 4.
16. $$ PH \perp DE $$ De 9. PH pertenece a AH y DE pertenece a CB.
17. $$ GE \parallel PH $$ Por criterio de paralelismo que dice: dos rectas que son perpendiculares a una tercera, son paralelas. De 15 y 16.
18. Cuadrilátero HEGP es un paralelogramo. Por la definición de paralelogramo: cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos. De 6 y 17.
19. $$ PH=GE $$ Por propiedad de los paralelogramos. Lados opuestos congruentes. De 18.
20. $$ AP = AH - PH $$ Diferencia de segmentos.
21. $$ AP = h - GE $$ Sustitución de 3 y 19 en 20.
22. $$ AP = h - l $$ Sustitución de 4 en 21.
23. $$ l = \frac{a . (h-l)}{h} $$ Sustitución de 22 en 14.
24. $$ l = \frac{a.h}{h+a} $$ De 23. Propiedad de los reales.

Ratio: 5 / 5

Inicio activadoInicio activadoInicio activadoInicio activadoInicio activado

11. Se tiene el triángulo ABC. Sean A-B-D, tales que AB=BD. Sean A-E-C tales que (AE/EC)=(3/2). Los segmentos DE y BC se cortan en F. Hallar BF/BC.

DESARROLLO

HIPÓTESIS

1. \( \triangle ABC \) cualquiera.

2. \(A-B-D\).

3. \(AB=BD\).

4. \(A-E-C\).

5. AE/EC=3/2.

6. \( \overline{DE} \cap \overline{BC} = {F} \).

TESIS

Hallar razón BF/BC.

PROPOSICIÓN RAZÓN
7. Trazo BL con A-L-E-C y \( \overline{BL} \parallel \overline{DE}  \parallel \overline{FE}\). Construcción auxiliar.
8. B es punto medio de AD. Por definición de punto medio de un segmento. De 3.
9. L es punto medio de segmento AE. Por el recíproco del Teorema de la base media de un triángulo (\(\triangle ADE\)), que dice: si trazo un segmento desde el punto medio del lado de un triángulo paralelo a otro lado del mismo triángulo, entonces el punto de intersección será punto medio de su respectivo lado. De 7 y 8.
10. $$ \frac{BF}{BC}=\frac{LE}{LC} $$ Por el Teorema Fundamental de Segmentos Proporcionales. Se tienen las paralelas FE y BL. De 7.
11. $$ LE = \frac{AE}{2} $$ De 9. Por definición de punto medio de un segmento.
12. $$ AE = \frac{3}{2} EC $$ De 5. Propiedad de las proporciones.
13. $$ LE = \frac{3}{4} EC $$ Sustitución de 12 en 11.
14. $$ LC = LE + EC $$ Suma de segmentos adyacentes.
15. $$ EC = \frac{4}{4} EC $$ Propiedad de los reales.
16. $$ LC = (3/4) EC + (4/4) EC$$ Sustitución de 13 y 15 en 14.
17. $$ LC = \frac{7}{4} EC $$ De 16. Propiedad de los reales.
18. $$ \frac{BF}{BC}=\frac{(3/4) EC}{(7/4) EC} $$ Sustitución de 13 y 17 en 10.
19. $$ \frac{BF}{BC}=\frac{3}{7} $$ De 18. Propiedad de los reales.

Inicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivadoInicio desactivado

DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA: Dados un plano \(\pi\), un punto O en dicho plano y un número real positivo r, (r > 0), se llama “Circunferencia de centro O y radio r”, “C(O; r)”, al conjunto formado por todos los puntos P del plano \(\pi\), tales que OP = r.

RADIO: Segmento que une el centro con un punto de la circunferencia, por ejemplo: \(\overline{OA}\), \(\overline{OB}\), \(\overline{OC}\), \(\overline{OD}\)\(\overline{OE}\) y \(\overline{OF}\).

CUERDA: Segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia, por ejemplo: \(\overline{AB}\), \(\overline{CD}\).

DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, por ejemplo: \(\overline{CD}\).

ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia, por ejemplo: \(E\hat{O}F\).

ARCO: Subconjunto de la circunferencia limitado por dos puntos de ella, por ejemplo: arco AB. Si son extremos de un diámetro, los arcos se llaman semicircunferencias, por ejemplo: CAD y CED.

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las que tienen el mismo centro.

TEOREMA: En una circunferencia, todos los radios son congruentes; todos los diámetros son congruentes; el diámetro es el doble del radio y el diámetro es la mayor cuerda.


POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PUNTO Y UNA CIRCUNFERENCIA

En un plano, dada una C(O; r) y un punto P:

1. P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r.
2. P está SOBRE la C(O; r), si OP = r.
3. P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r.


DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA CIRCUNFERENCIA

TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y dado un punto P en su plano, entonces los extremos del diámetro AB, contenido en la recta OP, son los puntos de la circunferencia que están a la menor y a la mayor distancia del punto dado.

La distancia del punto P a la C(O; r) es la distancia entre P y el extremo de dicho diámetro que esté más próximo a P, en la gráfica por ejemplo es PB.

TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa ninguna circunferencia.

COROLARIO: Tres puntos de una circunferencia no pueden ser colineales. Intuitivamente “la circunferencia no tiene ningún tramo rectilíneo”.


CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS

TEOREMA: Por tres puntos A, B y C no alineados, pasa una y sólo una circunferencia que tiene por centro el circuncentro del triángulo ABC.


POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

1. Una recta es EXTERIOR a una circunferencia si no tiene puntos comunes con ella.

2. Una recta es TANGENTE a una circunferencia si tiene exactamente un punto común con ella, llamado punto de tangencia.

3. Una recta es SECANTE a una circunferencia si tiene exactamente dos puntos comunes con ella.

TEOREMA: Si una recta es tangente a una circunferencia entonces es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia.


TEOREMA: Dadas una recta y una circunferencia de radio r, si d es la distancia del centro a la recta, entonces:

1. La recta es secante a la circunferencia si y sólo si d < r.

2. La recta es tangente a la circunferencia si y sólo si d = r.

3. La recta es exterior a la circunferencia si y sólo si d > r.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias son:

1. EXTERIORES: Si todos los puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra.

2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra.

3. SECANTES: Si tienen exactamente dos puntos comunes.

4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es tangente interior a la segunda.

5. INTERIORES: Si no tienen puntos comunes y todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es interior a la segunda.

TEOREMA: Si dos circunferencias no concéntricas tienen un punto común exterior a la recta de los centros entonces son secantes y recíprocamente.

TEOREMA: Si dos circunferencias son secantes entonces la línea de sus centros es la mediatriz de su cuerda común y es la bisectriz de los ángulos centrales subtendidos por la cuerda.

TEOREMA: Si dos circunferencias son tangentes entonces los centros y su punto de tangencia son colineales y recíprocamente.

TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O; r) y C(O’; r’), entonces ellas son:

1. Exteriores si y sólo si OO’ > r + r’

2. Tangentes exteriores si y sólo si OO’ = r + r’

3. Secantes si y sólo si r r ’< OO’ < r + r’

4. Tangentes interiores si y sólo si OO’ = r r’

5. Interiores si y sólo si OO’ < r r ’

ARCOS Y CUERDAS

CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: Dos circunferencias son congruentes si sus radios tienen igual medida.

ARCOS CONGRUENTES: Dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes son congruentes si subtienden ángulos centrales congruentes.

ARCOS DESIGUALES: Dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes son desiguales si subtienden ángulos centrales desiguales y será mayor el que subtienda mayor ángulo central.

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO: La medida angular de un arco es la medida del ángulo central que subtiende.

TEOREMA: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes:

1. Dos ángulos centrales son congruentes sii subtienden cuerdas congruentes.

2. Dos cuerdas son congruentes sii subtienden arcos congruentes.

3. La menor de dos cuerdas desiguales subtiende un arco menor y un ángulo central menor y recíprocamente.

4. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro y recíprocamente.

5. La mayor de dos cuerdas desiguales está más próxima al centro y recíprocamente.

PROPIEDADES DE UN DIÁMETRO PERPENDICULAR A UNA CUERDA

TEOREMA: Dada una cuerda, si otra cuerda secante a ella cumple dos de las siguientes propiedades entonces las cumple todas:

1. Es diámetro.
2. Es perpendicular a la cuerda.
3. Pasa por el punto medio de la cuerda.
4. Pasa por el punto medio del arco menor.
5. Pasa por el punto medio del arco mayor.
6. Es bisectriz del ángulo central que la cuerda subtiende.

ARCOS Y PARALELAS

TEOREMA: Dos arcos o dos cuerdas comprendidos entre dos rectas paralelas son congruentes.

TEOREMA: (Criterio de paralelismo): Si en una circunferencia dos cuerdas o dos arcos son congruentes entonces sus extremos determinan un par de rectas paralelas.


ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA

1. ÁNGULO INSCRITO: El vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos semirrectas secantes a la circunferencia, por ejemplo el ángulo ABC.

2. ÁNGULO SEMIINSCRITO: El vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos semirrectas una tangente y la otra secante a la circunferencia, por ejemplo el ángulo DEF.

3. ÁNGULO INTERIOR: El vértice es punto interior a la circunferencia y sus lados son dos semirrectas secantes a la circunferencia, por ejemplo el ángulo GHK.

4. ÁNGULO EXTERIOR: El vértice es punto exterior a la circunferencia y sus lados son semirrectas tangentes y/o secantes a la circunferencia, por ejemplo los ángulos LMR, LMN y NMP.


TEOREMA: En una circunferencia, en medidas angulares:

1. Un ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, por ejemplo: ángulo ABC (inscrito) = medida de arco AC / 2.

2. Un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, por ejemplo: ángulo DEF (semiinscrito) = medida de arco DE / 2.

3. Un ángulo interior mide la semisuma del arco comprendido entre sus lados y el arco comprendido entre las prolongaciones de ellos, por ejemplo: ángulo GHK (interior) = (arco GK + arco K'G') / 2.

4. Un ángulo exterior mide la semidiferencia de los arcos mayor y menor comprendidos entre sus lados.

COROLARIOS:

1. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son congruentes.

2. Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos.

ARCO CAPAZ (Lugar Geométrico)

TEOREMA: Dado un segmento AB y dado un ángulo, 0° < alpha < 180°, entonces existen dos arcos de extremos A y B, (sobre circunferencias congruentes y simétricas con respecto a la recta AB), tales que la unión de dichos arcos, excepto los puntos A y B, forman el lugar geométrico de los puntos P del plano, para los cuales ángulo APB = ángulo alfa.

ARCO CAPAZ: Dado un segmento AB y dado un ángulo alfa, tal que 0° < alfa < 180°, el “Arco capaz del segmento AB bajo el ”, es cada uno de los arcos a los que se refiere el teorema anterior.

TEOREMA: El arco capaz de un segmento, bajo 90° es la semicircunferencia que le tiene por diámetro.

PROPIEDADES DE LAS RECTAS TANGENTES DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TEOREMA: Sean PA y PB los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto P exterior a ella, (A y B puntos de tangencia), entonces:

1. Las tangentes son congruentes PA = PB.
2. OP es bisectriz del ángulo AOB y del ángulo APB.
3. Ángulo AOB=ángulo P (exterior) del cuadrilátero PAOB.