Para realizar la deducción algebraica de las componentes de las deformaciones en un sistema coordenado cartesiano, y que son las más reconocidas, se debe partir del tensor de deformaciones de Green-Lagrange. La teoría de la mecánica del medio contínuo nos ofrece otras medidas de deformación, como son los tensores de deformaciones de Green, Finger, Almansi y Hencky. La expresión conocida para las deformaciones en un sistema cartesiano referidas al mismo sistema cartesiano es:

$$ \epsilon = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) $$

La expresión anterior ofrece solo las componentes lineales en las deformaciones. Existe otra expresión que contiene la parte no lineal de las deformaciones. Ambas serán desarrolladas a continuación. Partimos entonces de que el tensor de deformaciones de Green-Lagrange proviene de una diferencia de términos del tensor de deformaciones de Green, lo cual resulta en una expresión para las componentes del tensor de deformaciones de Green-Lagrange:

$$ \epsilon = \tilde{\epsilon}_{ij}~^o\underline{g}^i~^o\underline{g}^j $$

Se expresó el tensor como sus componentes multiplicadas por las bases del sistema de coordenadas curvilíneo definidas en la configuración de referencia. Las componentes del tensor son:

$$ \tilde{\epsilon}_{ij} = \frac{1}{2} \left( ^t\underline{g}_i \cdot~^t\underline{g}_j -~^o\underline{g}_i \cdot~^o\underline{g}_j \right) $$

Las bases que se están multiplicando mediante el producto punto (son vectores, lógicamente) están definidas así:

$$ ^o\underline{g}_i = \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_i} $$

$$ ^t\underline{g}_i = \frac{\partial (\underline{x}+\underline{u})}{\partial r_i} = \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_i} + \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_i}$$

Realizando las sustituciones, se obtiene:

$$ \tilde{\epsilon}_{ij} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_i} + \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_i} \right) \cdot \left( \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_j} + \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_j} \right) - \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_i} \cdot \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_j} \right) $$

Si se tiene en cuenta que los siguientes términos son vectores:

$$ \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_i} = \left[ \frac{\partial x}{\partial r_i},~\frac{\partial y}{\partial r_i},~\frac{\partial z}{\partial r_i} \right] $$

$$ \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_i} = \left[ \frac{\partial u}{\partial r_i},~\frac{\partial v}{\partial r_i},~\frac{\partial w}{\partial r_i} \right] $$

$$ \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_j} = \left[ \frac{\partial x}{\partial r_j},~\frac{\partial y}{\partial r_j},~\frac{\partial z}{\partial r_j} \right] $$

$$ \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_j} = \left[ \frac{\partial u}{\partial r_j},~\frac{\partial v}{\partial r_j},~\frac{\partial w}{\partial r_j} \right] $$

Ahora, al desarrollar las operaciones con los productos escalares (producto punto) sustituyendo las cuatro expresiones anteriores, se llega a lo siguiente:

$$ \tilde{\epsilon}_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial x}{\partial r_i} \frac{\partial x}{\partial r_j} + \frac{\partial x}{\partial r_i} \frac{\partial u}{\partial r_j} + \frac{\partial u}{\partial r_i} \frac{\partial x}{\partial r_j} + \frac{\partial u}{\partial r_i} \frac{\partial u}{\partial r_j} \right) $$

$$ + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial y}{\partial r_i} \frac{\partial y}{\partial r_j} + \frac{\partial y}{\partial r_i} \frac{\partial v}{\partial r_j} + \frac{\partial v}{\partial r_i} \frac{\partial y}{\partial r_j} + \frac{\partial v}{\partial r_i} \frac{\partial v}{\partial r_j} \right) $$ 

$$ + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial z}{\partial r_i} \frac{\partial z}{\partial r_j} + \frac{\partial z}{\partial r_i} \frac{\partial w}{\partial r_j} + \frac{\partial w}{\partial r_i} \frac{\partial z}{\partial r_j} + \frac{\partial w}{\partial r_i} \frac{\partial w}{\partial r_j} \right) $$ 

$$ - \frac{1}{2} \left( \frac{\partial x}{\partial r_i} \frac{\partial x}{\partial r_j} + \frac{\partial y}{\partial r_i} \frac{\partial y}{\partial r_j} + \frac{\partial z}{\partial r_i} \frac{\partial z}{\partial r_j} \right) $$

Expresando en términos de vectores la expresión resultante de restar los términos en la última fila, se obtiene:

$$ \tilde{\epsilon}_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_i} \cdot \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_j} + \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_i} \cdot \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_j} + \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_i} \cdot \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_j} \right) $$

De la expresión anterior se puede obtener un término lineal y uno no lineal en las deformaciones:

$$ \tilde{\epsilon}_{ij} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_i} \cdot \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_j} + \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_i} \cdot \frac{\partial \underline{x}}{\partial r_j} \right) $$

$$ \tilde{\epsilon}_{ij} |_{no lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_i} \cdot \frac{\partial \underline{u}}{\partial r_j} \right) $$

Si se quiere que las deformaciones estén medidas con respecto al sistema de coordenadas cartesiano entonces es necesario tomar las coordenadas curvilíneas generales como ese caso en particular, donde estas coordenadas curvilíneas \(r_1=r\), \(r_2=s\) y \(r_3=t\) será ahora \(r_1=x\), \(r_2=y\) y \(r_3=z\). Se reescribe entonces la parte lineal como (nótese que la tilde sobre la letra epsilon que representa a las componentes del tensor de Green-Lagrange ya no aparece, dado que no estamos calculando con respecto al sistema general cuvilíneo sino al cartesiano):

$$ \epsilon_{ij} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \underline{x}}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial \underline{u}}{\partial x_j} + \frac{\partial \underline{u}}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial \underline{x}}{\partial x_j} \right) $$

Desarrollando los productos escalares se obtiene:

$$ \epsilon_{ij} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial x}{\partial x_i} \frac{\partial u}{\partial x_j} + \frac{\partial y}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_j} + \frac{\partial z}{\partial x_i} \frac{\partial w}{\partial x_j} \right) $$

$$ + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial x_i} \frac{\partial x}{\partial x_j} + \frac{\partial v}{\partial x_i} \frac{\partial y}{\partial x_j} + \frac{\partial w}{\partial x_i} \frac{\partial z}{\partial x_j} \right)$$

Si se usa la notación de Einstein (indices duplicados indican sumatoria) lo anterior se puede escribir como:

$$ \epsilon_{ij} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial x_n}{\partial x_i} \frac{\partial u_n}{\partial x_j} + \frac{\partial u_m}{\partial x_i} \frac{\partial x_m}{\partial x_j} \right) $$

Usando una herramienta del álgebra tensorial, podemos hacer uso de las deltas de kronecker para simplificar la expresión. Reescribimos:

$$ \epsilon_{ij} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \delta_{ni} \frac{\partial u_n}{\partial x_j} + \frac{\partial u_m}{\partial x_i} \delta_{mj} \right) $$

Usarlas implica intercambiar subíndices, para escribir la expresión así:

$$ \epsilon_{ij} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) $$

A partir de la expresión anterior ya se pueden escribir las componentes del tensor de deformaciones que tanto se conocen en los textos:

$$ \epsilon_x |_{lineal} = \epsilon_{11} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial u}{\partial x} $$

$$ \epsilon_y |_{lineal} = \epsilon_{22} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) = \frac{\partial v}{\partial y} $$

$$ \epsilon_z |_{lineal} = \epsilon_{33} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_3}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial w}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial z} \right) = \frac{\partial w}{\partial z} $$

$$ \epsilon_{xy} |_{lineal} = \epsilon_{12} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) $$

$$ \epsilon_{yz} |_{lineal} = \epsilon_{23} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} \right) $$

$$ \epsilon_{xz} |_{lineal} = \epsilon_{13} |_{lineal} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_1}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) $$

Las siguientes igualdades son fácilmente demostrables a partir de lo anterior:

$$ \epsilon_{xy} = \epsilon_{yx} $$

$$ \epsilon_{yz} = \epsilon_{zy} $$

$$ \epsilon_{xz} = \epsilon_{zx} $$

Por esa razón, sólo se requieren seis componentes para definir por completo el estado de deformaciones en un punto de un material y no nueve, como se pensaría inicialmente si se usan los subíndices i y j desde 1 hasta 3.