4. (Dificultad: 4/10) Calcule el siguiente límite, si existe:

$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{\left| x \right|}{3 \left| x \right| + 5} $$

Solución

 

Proposición

Razón

1. $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{\left| x \right|}{3 \left| x \right| + 5} $$ Planteamiento del problema
2. $$ \left| x \right| = -x~\text{si}~x<0 $$ Parte de la definición de la función valor absoluto. Se cumple, dado que el límite tiende a un valor negativo muy grande.
3. $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ -x }{-3x + 5} $$ Sustitución de 2 en 1.
4. $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ -\frac{x}{x} }{ \frac{-3x}{x} + \frac{5}{x} } $$ De 3. Divido numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador.
5. $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ -1 }{ -3 + \frac{5}{x} } $$ De 4. Propiedad de los reales.
6. $$ \frac{-1}{-3+0} = \frac{1}{3} $$ Se tiene en cuenta que el límite cuando x tiende a menos infinito de 5/x es igual a cero.

Figura 1. Gráficas de la función \( f(x)=\frac{\left| x \right|}{3 \left| x \right| + 5} \).

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