5. (Dificultad: 7/10) Demuestre el siguiente límite:

$$ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + e^{2x} \right)^\frac{1}{4x} = \sqrt{e} $$

Solución

 

Proposición

Razón

1. $$ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + e^{2x} \right)^\frac{1}{4x} $$ Planteamiento
2. $$ \infty ^0 $$ Es la forma indeterminada que resulta si se trata de calcular el límite con la función definida de esa forma.
3. $$ y=\left( 1 + e^{2x} \right)^\frac{1}{4x} $$ Se define la función.
4. $$ \ln y=\ln \left( 1 + e^{2x} \right)^\frac{1}{4x} $$ Se calcula el logaritmo natural a ambos lados.
5. $$ \ln y=\frac{1}{4x} \ln \left( 1 + e^{2x} \right) $$ Se aplica una ley de logaritmos para bajar el exponente.
6. $$\lim_{x \to \infty} \ln y=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{4x} \ln \left( 1 + e^{2x} \right) $$ Se calcula el límite a ambos lados.
7. $$\lim_{x \to \infty} \ln y=\lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + e^{2x} \right)}{4x} $$ De 6.
8. $$ \frac{\infty}{\infty} $$ Es la forma que se obtiene si se calcula el límite tal cual está definido. Una forma indeterminada. También se podría obtener la indeterminación de la forma cero por infinito en el paso 6.
9. $$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}}{4} $$ Se aplica la regla de L'Hopital, dado que la forma indeterminada que se obtuvo en 8 aplica (recordar que aplica para las indeterminaciones cero sobre cero o infinito sobre infinito).
10. $$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{2+2e^{2x}}~\rightarrow \frac{\infty}{\infty} $$ De 9. Se obtiene de nuevo una forma indeterminada.
11.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{2x}}{e^{2x}}}{\frac{2}{e^{2x}}+2 \frac{e^{2x}}{e^{2x}}} $$

Se divide numerador y denominador sobre \(e^{2x}\). 
12.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2}{e^{2x}}+2 } = \frac{1}{0 + 2}=\frac{1}{2}$$

De 11.
13.

$$\lim_{x \to \infty} \ln y=\frac{1}{2} $$

Por transitividad entre 6 y 12.
14.

$$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} e^{\ln y} $$

De 3 y por la definición de logaritmo natural.
15.

$$ \lim_{x \to \infty} e^{\ln y} = e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}=1.65 $$

De 13 en 14.

Figura 1. Graficas de la función \(y=\left(1+e^{2x}\right)^{\frac{1}{4x}}\).

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