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25. Dadas las siguientes rectas:

$$ \overleftrightarrow{l1}: \frac{x+2}{-2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+k}{-2} $$

$$ \overleftrightarrow{l2}: $$

$$ x=-4+4t~~~(Ec. 4)$$

$$ y=-1+3t~~~(Ec. 5) $$

$$ z=-4+5t~~~(Ec. 6) $$

Calcular:

a) El valor de \(k\) para que las rectas se corten (se intersequen).

b) El punto de intersección de las rectas.

DESARROLLO

Punto a)

Primero, es necesario reescribir la forma simétrica de la recta l1 en su forma paramétrica. El parámetro t lo estamos usando para la recta l2, por lo cual asignaremos un parámetro diferente (s) para la recta l1, así:

$$ x=-2-2s~~~(Ec. 1) $$

$$ y=3+1s~~~(Ec. 2) $$

$$ z=-k-2s~~~(Ec. 3) $$

Si las rectas poseen un punto en común entonces se cumplirá que para ese punto existirá un parámetro t en l1 y un parámetro s en l2 que resultarán en las mismas coordenadas x, y, z. Esto es, x=x, y=y, z=z. Igualemos entonces las ecuaciones 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6:

$$ -2-2s=-4+4t~~~(Ec. 7)$$

$$ 3+s=-1+3t~~~(Ec. 8) $$

$$ -k-2s=-4+5t~~~(Ec. 9) $$

Tenemos entonces un sistema lineal de ecuaciones de 3 x 3. Resolvamos para s y t con Ec. 7 y Ec. 8, lo cual resulta:

$$ t=1$$

$$ s=-1 $$

Sustituyamos ahora t=1 y s=-1 en la Ec. 9, para obtener:

$$ k=1 $$

Punto b)

Para hallar el punto de corte basta con usar los valores de s, t y k en el conjunto de ecuaciones 1, 2 o 3, o bien, en el conjunto de ecuaciones 4, 5 y 6. En ambos casos las coordenadas x, y, z del punto deberían ser las mismas. El punto de corte o de intersección buscado es, finalmente:

$$ P(x,y,z)=P(0,2,1) $$