Resumen de geometría vectorial

Ángulo entre dos vectores

Aplica para \(R^n\).

$$ \text{cos}~\theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{ \| \overrightarrow{u} \| \| \overrightarrow{v} \|} $$

Vectores ortogonales

Aplica para \(R^n\). Dos vectores son ortogonales si se cumple que:

$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$$

Vectores paralelos

Aplica para \(R^n\). Dos vectores son paralelos si se cumple que:

$$ \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v} $$

ó

$$ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = 0 $$

Proyección ortogonal de un vector sobre otro

Aplica para \(R^n\). Se lee "la proyección del vector \(\overrightarrow{u}\) sobre el vector \(\overrightarrow{v}\)", y es otro vector:

$$ \text{Proy}_\overrightarrow{v} \overrightarrow{u} = \left(\frac{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}}{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}}\right) \overrightarrow{v} $$ 

Producto vectorial o producto cruz de dos vectores

Aplica para \(R^3\). Esta operación resulta en un vector ortogonal a los dos vectores que se multiplican y siguiendo la regla de la mano derecha:

$$ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2 \right) \overrightarrow{i} + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) \overrightarrow{j} + \left( u_1 v_2 - u_2 v_1 \right) \overrightarrow{k} $$

Se puede demostrar que la magnitud del producto cruz entre dos vectores es el área del paralelogramo definido por los dos vectores y que poseen un ángulo \(\theta\) entre ellos:

$$ \| \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \| = \| \overrightarrow{u} \| \| \overrightarrow{v} \| \text{sen}\theta $$

Triple producto escalar

Se trata de desarrollar el siguiente producto entre tres vectores: \( \overrightarrow{u} \cdot \left( \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \right) \).

Se puede demostrar que esta operación da como resultado un número real igual al volumen de un paralelepípedo definido por los tres vectores.

Vectores coplanares

Tres vectores son coplanares si y sólo si su triple producto escalar es igual a cero. Tiene lógica. Si tres vectores son paralelos el volumen del paralelepípedo que ellos defienen debe ser igual a cero.

Planos paralelos

Dos planos son paralelos cuando sus vectores normales son paralelos.

Resumen de geometría analítica | Rectas y planos 

A continuación se presentan las diferentes formas de la ecuación de una recta en el plano, pero antes, las definiciones:

\(\overrightarrow{n}\): un vector ortogonal (perpendicular) a la recta. En R2 \((n_1,n_2)\) y en R3 \((n_1,n_2,n_3)\).

\(\overrightarrow{x}\): vector cuyas componentes son las coordenadas de un punto cualquiera que satisface la ecuación de la recta. En R2 \((x,y)\) y en R3 \((x,y,z)\).

\(\overrightarrow{p}\): vector cuyas componentes son las coordenadas de un punto cualquiera que pertenece a la recta. En R2 \((p_1,p_2)\) y en R3 \((p_1,p_2,p_3)\).

\(a,~b,~c,~d,~e\): números reales.

\(x,~y,~z\): números reales. Son las coordenadas de un punto cualquiera que satisface la ecuación de la recta o el plano en R2 o R3. El conjunto de puntos definido por las coordenadas \((x,y)\) en R2 o \((x,y,z)\) en R3 son los que forman la recta o el plano.

\(t,~s\): son los parámetros. Variar estos parámetros desde menos infinito hasta más infinito y evaluarlos resultaría en las coordenadas de todos los puntos que pertenecen a la recta o al plano en R2 o R3.

\(\overrightarrow{d}\): vector director (paralelo) de la recta, con componentes \((d_1,d_2)\) en R2 y \((d_1,d_2,d_3)\) en R3.

\(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\): vectores directores (paralelos) del plano. Sólo para R3. Componentes \((u_1,u_2,u_3)\) y \((v_1,v_2,v_3)\).

Ecuaciones de rectas en R2

Rectas en R2 - Forma normal

$$ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p} $$

Rectas en R2 - Forma general

Se puede obtener a partir de la forma normal.

$$ ax+by=c $$

Rectas en R2 - Forma vectorial

$$ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \overrightarrow{d} $$

Rectas en R2 - Forma paramétrica

Se obtiene de la forma vectorial.

$$ x = p_1 + t d_1 $$

$$ y = p_2 + t d_2 $$

Ecuaciones de rectas en R3

Rectas en R3 - Forma vectorial

$$ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \overrightarrow{d} $$

Rectas en R3 - Forma paramétrica

Se obtiene de la forma vectorial.

$$ x = p_1 + t d_1 $$

$$ y = p_2 + t d_2 $$

$$ z = p_3 + t d_3 $$

Rectas en R3 - Forma simétrica

Se obtiene de la forma paramétrica al despejar e igualar el parámetro.

$$ \frac{x-p_1}{d_1} = \frac{y-p_2}{d_2} = \frac{z-p_3}{d_3} $$

Ecuaciones de Planos en R3

Planos en R3 - Forma normal

$$ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p} $$

Planos en R3 - Forma general

Se puede obtener a partir de la forma normal.

$$ ax + by + cz = d $$

Planos en R3 - Forma vectorial

$$ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + s \overrightarrow{u} + t \overrightarrow{v} $$

Planos en R3 - Forma paramétrica

Se obtiene de la forma vectorial.

$$ x = p_1 + s u_1 + t v_1 $$

$$ y = p_2 + s u_2 + t v_2 $$

$$ z = p_3 + s u_3 + t v_3 $$