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Documento pdf | Conceptos básicos de Geometría Euclidiana

Introducción

Geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, considerada bajo sus tres formas: Línea, superficie y volumen.

Para su estudio se admite la existencia de algunos objetos primitivos, dotados de ciertas propiedades, y se aceptan unas reglas de trabajo para manipularlos y obtener nuevas propiedades de ellos.

Las propiedades admitidas como válidas son los axiomas y las que deben justificarse son los teoremas. Las reglas de trabajo deben ser universales y se utilizan las de la lógica matemática.

Axiomas y definiciones

AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO: Existe un conjunto llamado el espacio que tiene subconjuntos propios llamados planos, quienes a su vez tienen subconjuntos propios llamados rectas. Cada uno de estos conjuntos está formado por infinitos elementos llamados puntos.

Realmente el axioma de existencia no define ni el espacio, ni un plano, ni una recta, ni un punto. El conjunto de todos los axiomas permitirá que estos objetos alcancen las propiedades que intuimos de ellos.

FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquier subconjunto propio del espacio.

PUNTO INTERIOR (EXTERIOR): Si un punto pertenece una figura entonces es interior a ella, (está sobre la figura, o la figura pasa por el punto). En caso contrario es exterior a la figura.

AXIOMA DE ENLACE DE LA RECTA: Sean A y B dos puntos distintos, entonces existe una y sólo una recta a la cual ambos pertenecen, llamada ''la recta AB'', (\( \overleftrightarrow{AB} \)).

PUNTOS COLINEALES O ALINEADOS: Tres o más puntos son colineales o alineados si están en la misma recta. En caso contrario son no colineales o no alineados.

AXIOMA DE ENLACE DEL PLANO: Sean A, B y C, puntos no colineales, entonces existe uno y sólo un plano al cual ellos pertenecen, llamado “el plano ABC”, (\( \pi \) ABC).

PUNTOS COPLANARES: Cuatro o más puntos son coplanares si están en el mismo plano. En caso contrario son no coplanares.

AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO: Si una recta L y un plano \( \pi \) tienen dos puntos distintos en común, entonces la recta L está contenida en el plano \( \pi \).

AXIOMA DE INTERSECCIÓN DE PLANOS: Si dos planos distintos tienen algún punto en común entonces su intersección es una recta.

AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA: Una recta es un conjunto linealmente ordenado, que no tiene ni primero ni último punto y no tiene puntos consecutivos.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DE LA RECTA: Todo punto de una recta separa a los demás puntos de la recta en dos conjuntos: el conjunto de los que le preceden y el conjunto de los que le siguen y tales que:

1. Todo punto de la recta, distinto de él, pertenece a uno y sólo a uno de dichos conjuntos.
2. El punto dado está entre dos puntos de conjuntos distintos y no está entre dos puntos del mismo conjunto.

SEMIRRECTA: Si O es un punto de una recta L entonces se llama semirrecta de origen O al conjunto formado por el punto O y cada una de los conjuntos en que él divide a la recta, es decir:

1. O y todos los puntos de L que le preceden.
2. O y todos los puntos de L que le siguen.

Si O está entre A y B entonces las semirrectas obtenidas OA y OB se llaman semirrectas opuestas.

SEGMENTO DE RECTA: El conjunto formado por los puntos A, B y todos los puntos P entre A y B se llama segmento de recta AB y se denota por .

Los puntos A y B se llaman extremos. Las semirrectas determinadas por los extremos de un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, son las prolongaciones del segmento.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL PLANO: Toda recta de un plano separa a los demás puntos del plano en dos regiones tales que:

1. Todo punto del plano, exterior a la recta, pertenece a una y sólo a una de las regiones.
2. El segmento que une dos puntos de regiones distintas corta a la recta y de la misma región no la corta.

SEMIPLANO: Dado un plano y una recta en él, un semiplano es el conjunto formado por la recta y cada una de las regiones en que ella divide al plano. La recta es el borde de cada semiplano y los semiplanos son semiplanos opuestos.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL ESPACIO: Todo plano separa a los demás puntos del espacio en dos regiones tales que:

1. Todo punto del espacio, exterior al plano, pertenece a una y sólo a una de las regiones.
2. El segmento que une dos puntos de distintas regiones corta al plano y de la misma región no lo corta.

SEMIESPACIO: Es el conjunto formado por un plano dado y cada uno de los dos conjuntos en que él divide a los demás puntos del espacio. El plano se llama borde o cara de cada semiespacio y ellos son semiespacios opuestos.

OBSERVACIONES

1. Podemos citar como ejemplos de figuras geométricas: un plano, una recta, un semiplano, una semirrecta, un semiespacio y un conjunto formado por un punto.
2. Por el axioma de existencia cada recta es un subconjunto propio del espacio y entonces existen puntos exteriores a ella, es decir en el espacio existen puntos no colineales.
3. Según el axioma de existencia los puntos del espacio no son todos coplanares.
4. El axioma de enlace de la recta garantiza que dos puntos siempre son colineales.
5. Los puntos de un plano no son todos colineales porque dos puntos de él determinan una recta y si ella es un subconjunto propio del plano entonces existen puntos del plano exteriores a ella.
6. Los puntos de una recta son coplanares.
7. Tres puntos siempre son coplanares, pero cuatro no necesariamente lo son.
8. Por un punto pasa más de una recta.
9. Entre dos puntos distintos existen infinitos puntos.

COINCIDENCIA DE RECTAS

TEOREMA: Si dos rectas tienen dos puntos distintos en común, entonces ellas coinciden.

Demostración: Supongamos que dos rectas tienen dos puntos distintos en común. Por el axioma de enlace de la recta por dos puntos distintos pasa sólo una recta, entonces las dos rectas son la misma recta.

** En consecuencia, para probar que dos rectas coinciden, será suficiente probar que tienen dos puntos distintos en común.

COINCIDENCIA DE PLANOS

TEOREMA: Si dos planos tienen tres puntos no colineales en común, entonces los planos coinciden.

** Para probar que dos planos coinciden, será suficiente probar que tienen tres puntos no colineales en común.

NOTA: La no colinealidad de los tres puntos es fundamental porque por tres puntos colineales pasa más de un plano porque una recta está contenida en más de un plano.

En efecto, si se toman D exterior a la recta AB y E exterior al plano ABD entonces la recta AB está contenida en los planos ABD y ABE, que son distintos. En definitiva, por tres puntos colineales pasa más de un plano.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS

Por el axioma de enlace dos rectas distintas máximo pueden tener un punto en común, es decir, tienen solamente un punto en común o ninguno.

RECTAS SECANTES: Son las que tienen solamente un punto en común. Se dice que ellas concurren en dicho punto.

RECTAS PARALELAS: Son rectas coplanares que no tienen puntos en común.

RECTAS CRUZADAS: Son rectas no coplanares.

DETERMINACIÓN DE UN PLANO

TEOREMA (PLANO: RECTA Y PUNTO EXTERIOR): Por una recta y un punto exterior a ella pasa uno y sólo un plano que les contiene.

TEOREMA (PLANO: RECTAS SECANTES): Dos rectas secantes determinan uno y sólo un plano que les contiene.

Demostración: El punto en común y otros dos puntos, uno en cada una de las rectas, son tres puntos no colineales, que determinan un único plano en el cual estarán contenidas ambas rectas.

COROLARIO: Dos rectas cruzadas no tienen ningún punto en común.

Demostración: En efecto, si tuviesen sólo un punto en común serían secantes y por lo tanto coplanares; si tuviesen dos o más puntos en común serían la misma recta y también resultarían coplanares.

TEOREMA (PLANO: RECTAS PARALELAS): Dos rectas paralelas determinan uno y sólo un plano que les contiene.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA

Un plano y una recta no contenida en él, máximo tienen un punto en común, es decir tienen sólo uno o ningún punto en común.

RECTA Y PLANO SECANTES: Una recta y un plano son secantes si tienen sólo un punto en común. Se dice que la recta y el plano son secantes en dicho punto.

RECTA Y PLANO PARALELOS: Una recta y un plano son paralelos si no tienen ningún punto en común.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS

PLANOS SECANTES: Son planos distintos con algún punto común.

TEOREMA: La intersección entre dos planos secantes es una recta.

PLANOS PARALELOS: Son planos que no tienen ningún punto en común.