SEGMENTOS DE RECTA
1. Sean \(A-B-C-D\) (colineales) tales que \(AB=9~cm\), \(CA=16~cm\) y \(CD=20~cm\). Si \(E\) es el punto medio de \(\overline{BC}\), calcular la medida de \(\overline{ED}\).
2. Sean \(A-B-C\) y \(D-H-E\) tales que \(AB = DH \) y \(BC = HE\). Demostrar que \(AC = DE\).
3. Sean \(A-B-C-D\) tales que \(O\) es punto medio de \(AD\) y \(BC\). Demostrar que \(AB=CD\) y que \(AC=BD\).
4. (Dificultad: 3/10) Sean \(A-B-C-D\). Si \(M\) y \(N\) son los puntos medios de \(\overline{AB}\) y \(\overline{CD}\), respectivamente, probar que:
$$ MN = \frac{AC + BD}{2} $$
Solución: Ejercicio resuelto 04 | Segmentos | Puntos medios de dos segmentos
5. (Dificultad: 2/10) Sea D el punto medio del segmento \(AB\) y \(P\) un punto cualquiera sobre la recta que contiene al segmento \(AB\) tal que \(A-B-P\). Demostrar que:
$$DP = \frac{AP + BP}{2}$$
Solución: Ejercicio resuelto 5 | Segmentos | Punto medio
6. (Dificultad: 4/10) EN VIDEO Sean \(A-B-C-D\) tales que:
$$ \frac{BC}{m}=\frac{CD}{n} $$
con \(m\) y \(n\) perteneciendo al conjunto de los números reales. Expresar \(AC\) en términos de \(AB,~AD,~m\) y \(n\).
Solución: Ejercicio resuelto 06 | Segmentos | AC en términos de AB, AD, m y n
7. (Dificultad: 4/10) Sean \(A-B-C-D\). Si \(BC = CD/2\), demostrar que:
$$ AC = \frac{2AB + AD}{3} $$
Solución: Ejercicio resuelto 07 | Segmentos | Geometría Euclidiana
8. (Dificultad: 5/10) Se tienen tres puntos consecutivos \(A-B-C\), colineales y en ese orden. Dado que,
$$ AC+AB = \frac{5}{4} BC $$
Hallar,
$$ \frac{AB}{BC} $$
Solución: Solución ejercicio 8 | Segmentos | Geometría Euclidiana
9. (Dificultad: 9/10) Sea C un punto del segmento \(\overline{AB}\) diferente de A y de B, tal que:
$$ \frac{AC}{CB} = \frac{AB}{AC} $$
Demostrar que:
$$ AC = \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right) AB ~~~~~~ AB = \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right) AC $$
Solución [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 9 | Segmentos de recta | Euclidiana
10. (Dificultad: 7/10) Sean A-B-C tales que \(AC=6\) y \( AB^2+BC^2=30 \). Hallar el valor de:
$$ \frac{AB^2}{BC}+\frac{BC^2}{AB} $$
Solución [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 10 | Segmentos | Sistema de ecuaciones
11. (Dificultad: 6/10) Sean A-B-C, de tal modo que \(AB \cdot BC = x (AC)^2 \). Hallar:
$$ \frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB} $$
en términos de \(x\).
Solución: Ejercicio resuelto 11 | Segmentos | Suma de fracciones
12. (Dificultad: 6/10) En una recta se ubican los puntos consecutivos \(A, B, C, D\), tal que \(C\) es el punto medio del segmento \(\overline{AD}\). Además, \(BD-AB=18\). Hallar la medida del segmento \(\overline{BC}\).
Solución: Ejercicio resuelto 12 | Segmentos | Punto medio
13. (Dificultad: 4/10) Sean \(O-A-X-B\), tal que:
$$ AX = \frac{n}{m} AB $$
con \(n\) y \(m\) pertenecientes al conjunto de los números reales positivos. Demostrar que:
$$ OX = \frac{(m-n).OA + n.OB}{m} $$
Solución: Ejercicio resuelto 13 | Segmentos | Cuatro puntos
14. (Dificultad: 4/10) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos \(A-B-C-D\). Luego, se toman los puntos medios \(M\) de \(\overline{AB}\) y \(N\) de \(\overline{CD}\), tal que \(MN = x (AD+BC)\). Hallar la medida de \(x\).
Solución: Ejercicio resuelto 14 | Segmentos | Puntos medios
15. (Dificultad: 6/10) Sobre una recta se toman los puntos \(A-B-C-D\), con \(CD=3AC\) y \(BD-3AB=28\). Hallar la medida de \(BC\).
Solución: Ejercicio resuelto 15 | Segmentos | Hallar la medida de un segmento
16. (Dificultad: 7/10) Considere los puntos \(A-M-B-N\) que cumplen con la siguiente condición:
$$ \frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$
Demostrar que:
$$ \frac{2}{AB}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN} $$
Solución [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 16 | Segmentos | Suma de fracciones
17. (Dificultad: 6/10) Considere los puntos \(A-M-B-N\) que cumplen con la siguiente condición:
$$ \frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$
Si \(O\) es el punto medio de \(\overline{AB}\), demostrar que:
$$ (OA)^2=OM.ON $$
Solución: Ejercicio resuelto 17 | Segmentos | Punto medio y proporción
18. (Dificultad: 7/10) Considere los puntos \(A-B-P-C\), de modo que \(P\) es punto medio de \(\overline{BC}\) y, además, \( (AB)^2+(AC)^2=46\). Hallar el valor de \( (AP)^2+(BP)^2 \).
Solución [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 18 | Segmentos | Hallar el valor de
19. (Dificultad: 8/10) Sean \(A,~B,~C\) puntos colineales en ese orden tales que \(AB-BC=k\), con \(k\) un número positivo. Si \(M\) y \(N\) son puntos medios de \(\overline{AB}\) y \(\overline{BC}\), respectivamente, y \(P\) es punto medio de \(\overline{MN}\). Demuestre que:
$$ PB=\frac{k}{4} $$
Solucion [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 19 | Segmentos | Demostrar función de una constante
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