17. (Dificultad: 6/10) Considere los puntos $A-M-B-N$ que cumplen con la siguiente condición:

$$ \frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$

Si $O$ es el punto medio de $\overline{AB}$, demostrar que:

$$ (OA)^2=OM.ON $$

Solución

$$1.~A-M-B-N $$

$$2.~\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$

$$3*.~\text{O punto medio de}~\overline{AB} $$

$$ (OA)^2=OM.ON $$

	Proposición	Razón
3.	$$ AM=OA+OM $$	Por suma de segmentos adyacentes.
4.	$$ BM=OB-OM $$	Por suma de segmentos adyacentes.
5.	$$ AN=OA+ON $$	Por suma de segmentos adyacentes.
6.	$$ BN=ON-OB $$	Por suma de segmentos adyacentes.
7.	$$ \frac{OA+OM}{OB-OM} $$ $$ =\frac{OA+ON}{ON-OB} $$	Sustitución de 3, 4, 5 y 6 en 2 (hipótesis).
8.	$$ OB=OA $$	De 3* (hipótesis). Por la definición de punto medio de un segmento.
9.	$$ \frac{OA+OM}{OA-OM} $$ $$ =\frac{OA+ON}{ON-OA} $$	Sustitución de 8 en 7.
10.	$$ (OA+OM)(ON-OA) $$ $$ =(OA+ON)(OA-OM) $$	De 9. Por propiedad de los reales.
11.	$$ OA.ON-OA^2+OM.ON-OM.OA $$ $$ =OA^2-OA.OM+ON.OA-ON.OM $$	De 10.
12.	$$ 2OM.ON=2OA^2 $$	De 11.
13.	$$ OA^2=OM.ON $$	De 12. Por propiedad de los reales. TESIS.

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Ejercicio resuelto 17 | Segmentos | Punto medio y proporción