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DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA: Dados un plano \(\pi\), un punto O en dicho plano y un número real positivo r, (r > 0), se llama “Circunferencia de centro O y radio r”, “C(O; r)”, al conjunto formado por todos los puntos P del plano \(\pi\), tales que OP = r.

RADIO: Segmento que une el centro con un punto de la circunferencia, por ejemplo: \(\overline{OA}\), \(\overline{OB}\), \(\overline{OC}\), \(\overline{OD}\)\(\overline{OE}\) y \(\overline{OF}\).

CUERDA: Segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia, por ejemplo: \(\overline{AB}\), \(\overline{CD}\).

DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, por ejemplo: \(\overline{CD}\).

ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia, por ejemplo: \(E\hat{O}F\).

ARCO: Subconjunto de la circunferencia limitado por dos puntos de ella, por ejemplo: arco AB. Si son extremos de un diámetro, los arcos se llaman semicircunferencias, por ejemplo: CAD y CED.

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las que tienen el mismo centro.

TEOREMA: En una circunferencia, todos los radios son congruentes; todos los diámetros son congruentes; el diámetro es el doble del radio y el diámetro es la mayor cuerda.


POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PUNTO Y UNA CIRCUNFERENCIA

En un plano, dada una C(O; r) y un punto P:

1. P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r.
2. P está SOBRE la C(O; r), si OP = r.
3. P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r.


DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA CIRCUNFERENCIA

TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y dado un punto P en su plano, entonces los extremos del diámetro AB, contenido en la recta OP, son los puntos de la circunferencia que están a la menor y a la mayor distancia del punto dado.

La distancia del punto P a la C(O; r) es la distancia entre P y el extremo de dicho diámetro que esté más próximo a P, en la gráfica por ejemplo es PB.

TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa ninguna circunferencia.

COROLARIO: Tres puntos de una circunferencia no pueden ser colineales. Intuitivamente “la circunferencia no tiene ningún tramo rectilíneo”.


CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS

TEOREMA: Por tres puntos A, B y C no alineados, pasa una y sólo una circunferencia que tiene por centro el circuncentro del triángulo ABC.


POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

1. Una recta es EXTERIOR a una circunferencia si no tiene puntos comunes con ella.

2. Una recta es TANGENTE a una circunferencia si tiene exactamente un punto común con ella, llamado punto de tangencia.

3. Una recta es SECANTE a una circunferencia si tiene exactamente dos puntos comunes con ella.

TEOREMA: Si una recta es tangente a una circunferencia entonces es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia.


TEOREMA: Dadas una recta y una circunferencia de radio r, si d es la distancia del centro a la recta, entonces:

1. La recta es secante a la circunferencia si y sólo si d < r.

2. La recta es tangente a la circunferencia si y sólo si d = r.

3. La recta es exterior a la circunferencia si y sólo si d > r.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias son:

1. EXTERIORES: Si todos los puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra.

2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra.

3. SECANTES: Si tienen exactamente dos puntos comunes.

4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es tangente interior a la segunda.

5. INTERIORES: Si no tienen puntos comunes y todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es interior a la segunda.

TEOREMA: Si dos circunferencias no concéntricas tienen un punto común exterior a la recta de los centros entonces son secantes y recíprocamente.

TEOREMA: Si dos circunferencias son secantes entonces la línea de sus centros es la mediatriz de su cuerda común y es la bisectriz de los ángulos centrales subtendidos por la cuerda.

TEOREMA: Si dos circunferencias son tangentes entonces los centros y su punto de tangencia son colineales y recíprocamente.

TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O; r) y C(O’; r’), entonces ellas son:

1. Exteriores si y sólo si OO’ > r + r’

2. Tangentes exteriores si y sólo si OO’ = r + r’

3. Secantes si y sólo si r r ’< OO’ < r + r’

4. Tangentes interiores si y sólo si OO’ = r r’

5. Interiores si y sólo si OO’ < r r ’

ARCOS Y CUERDAS

CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: Dos circunferencias son congruentes si sus radios tienen igual medida.

ARCOS CONGRUENTES: Dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes son congruentes si subtienden ángulos centrales congruentes.

ARCOS DESIGUALES: Dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes son desiguales si subtienden ángulos centrales desiguales y será mayor el que subtienda mayor ángulo central.

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO: La medida angular de un arco es la medida del ángulo central que subtiende.

TEOREMA: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes:

1. Dos ángulos centrales son congruentes sii subtienden cuerdas congruentes.

2. Dos cuerdas son congruentes sii subtienden arcos congruentes.

3. La menor de dos cuerdas desiguales subtiende un arco menor y un ángulo central menor y recíprocamente.

4. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro y recíprocamente.

5. La mayor de dos cuerdas desiguales está más próxima al centro y recíprocamente.

PROPIEDADES DE UN DIÁMETRO PERPENDICULAR A UNA CUERDA

TEOREMA: Dada una cuerda, si otra cuerda secante a ella cumple dos de las siguientes propiedades entonces las cumple todas:

1. Es diámetro.
2. Es perpendicular a la cuerda.
3. Pasa por el punto medio de la cuerda.
4. Pasa por el punto medio del arco menor.
5. Pasa por el punto medio del arco mayor.
6. Es bisectriz del ángulo central que la cuerda subtiende.

ARCOS Y PARALELAS

TEOREMA: Dos arcos o dos cuerdas comprendidos entre dos rectas paralelas son congruentes.

TEOREMA: (Criterio de paralelismo): Si en una circunferencia dos cuerdas o dos arcos son congruentes entonces sus extremos determinan un par de rectas paralelas.


ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA

1. ÁNGULO INSCRITO: El vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos semirrectas secantes a la circunferencia, por ejemplo el ángulo ABC.

2. ÁNGULO SEMIINSCRITO: El vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos semirrectas una tangente y la otra secante a la circunferencia, por ejemplo el ángulo DEF.

3. ÁNGULO INTERIOR: El vértice es punto interior a la circunferencia y sus lados son dos semirrectas secantes a la circunferencia, por ejemplo el ángulo GHK.

4. ÁNGULO EXTERIOR: El vértice es punto exterior a la circunferencia y sus lados son semirrectas tangentes y/o secantes a la circunferencia, por ejemplo los ángulos LMR, LMN y NMP.


TEOREMA: En una circunferencia, en medidas angulares:

1. Un ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, por ejemplo: ángulo ABC (inscrito) = medida de arco AC / 2.

2. Un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, por ejemplo: ángulo DEF (semiinscrito) = medida de arco DE / 2.

3. Un ángulo interior mide la semisuma del arco comprendido entre sus lados y el arco comprendido entre las prolongaciones de ellos, por ejemplo: ángulo GHK (interior) = (arco GK + arco K'G') / 2.

4. Un ángulo exterior mide la semidiferencia de los arcos mayor y menor comprendidos entre sus lados.

COROLARIOS:

1. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son congruentes.

2. Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos.

ARCO CAPAZ (Lugar Geométrico)

TEOREMA: Dado un segmento AB y dado un ángulo, 0° < alpha < 180°, entonces existen dos arcos de extremos A y B, (sobre circunferencias congruentes y simétricas con respecto a la recta AB), tales que la unión de dichos arcos, excepto los puntos A y B, forman el lugar geométrico de los puntos P del plano, para los cuales ángulo APB = ángulo alfa.

ARCO CAPAZ: Dado un segmento AB y dado un ángulo alfa, tal que 0° < alfa < 180°, el “Arco capaz del segmento AB bajo el ”, es cada uno de los arcos a los que se refiere el teorema anterior.

TEOREMA: El arco capaz de un segmento, bajo 90° es la semicircunferencia que le tiene por diámetro.

PROPIEDADES DE LAS RECTAS TANGENTES DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TEOREMA: Sean PA y PB los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto P exterior a ella, (A y B puntos de tangencia), entonces:

1. Las tangentes son congruentes PA = PB.
2. OP es bisectriz del ángulo AOB y del ángulo APB.
3. Ángulo AOB=ángulo P (exterior) del cuadrilátero PAOB.